Maximum-Minimum sorusu (Geometri ile çözümü isteniyor.) {çözüldü}

[AtakanCİCEK]

$a+b+c=12$ ise $\sqrt{a^2-2a+4}+\sqrt{b^2-4b+16}+\sqrt{c^2-6c+36}$ ifadesinin minimum değeri kaçtır?


Edit: Geometrik çözüm istenmesi için ve aşağıda verilen geometrik çözümlerin geçerli olması için $a,b,c>0$ olduğu bilgisi de problemde verilmelidir. Çünkü $a,b,c$ değerleri bir doğru parçasının uzunlukları olarak düşünülmüştür. (L. Gökçe)

[AtakanCİCEK]

Soruda Bunun üçgenler yardımıyla çözümü isteniyor arkadaşlar fakat ben onu göremediğimden lagrange çarpanlarından yardım alarak çözümünü yazdım üçgenlerden çözümünü bulabilen olursa gönderirse sevinirim.
öncelikle
$a^2-2a+4=(a-1)^2+3$
$b^2-4b+16=(b-2)^2+12$
$c^2-6c+36=(c-3)^2+27$  haline getirip   
$x+1=a$ , $y+2=b$ , $z+3=c$   dönüşümleri yapalım.
$x+y+z=6$ ve bizden minimumu istenen ifade $\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+12}+\sqrt{z^2+27}$ olur.
şimdi üç bilinmeyenli ifadeler için Lagrange çarpanlarını uygulayalım.
$h(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λ.g(x,y,z)$ ifadesini bulalım.
$f(x,y,z)=\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+12}+\sqrt{z^2+27}$  ve $g(x,y,z)=x+y+z-6$ şeklinde yazıp kısmi türevlerini alalım.
$h_x=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}+λ=0$  $(1)$
$h_y=\frac{2y}{2\sqrt{y^2+12}}+λ=0$ $(2)$
$h_z=\frac{2z}{2\sqrt{z^2+27}}+λ=0$  $(3)$
$h_λ=x+y+z-6=0$ $(4)$   denklem sistemi elde edilir. $(1)$ ile $(2)$ ifadeleri , $(1)$ ve $(3)$ ifadelerinin eşitliklerinin düzenlenmesiyle $y^2=4x^2$,$9x^2=z^2$ ifadeleri elde edilir . Minimum değeri bulmak için  ya $x,y,z$ değerlerinin tamamı negatif veya tamamı pozitif olmalıdır. O halde $2x=y$, $3x=z$ eşitlikleri elde edilir. $(4)$ ifadesinde yerine konulduğunda
$x=1$ , $y=2$ , $z=3$ elde edilir.
$\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+12}+\sqrt{z^2+27}$ ifadesinde bu değerler yerine konulduğunda $2+4+6=12$ elde edilir.

[alpercay]

Geometrik çözümü şöyle düşünebiliriz: Bir $A$ noktasından başlayan zig zaglar çizen bir yol hayal edeceğiz. $A$  dan $\sqrt{3}$  birim güneye, sonra $a-1$ birim batıya, sonra $\sqrt{12}$  birim güneye, sonra $b-2$  birim batıya, sonra $\sqrt{27}$  birim  güneye ve son olarak $c-3$  birim batıya hareket ederek bir $B$ noktasına ulaşın ve  $A$   ile   $B$   noktalarını birleştirin. $AB$ yolu  aradığımız en küçük değerdir ve  uzunluğunu  Pisagor teoreminden hesaplayabilirsiniz.

[alpercay]

Diğer bir yol olarak   $\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}...\sqrt{a_n^2+b_n^2}\geq \sqrt{(a_1+a_2...a_n)^2+(b_1+b_2...b_n)^2}$  eşitsizliği kullanılabilir. Buna göre $$\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+12}+\sqrt{z^2+27}\ge \sqrt{(x+y+z)^2+(\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3})^2}=12$$  bulunur.

[AtakanCİCEK]

Peki analitik geometriden bir şeyler üretebilir miyiz ?

[AtakanCİCEK]

Bu ifadeler kosinüs teoremini çağrıştırıyor.
$\mid AE\mid ^2= a^2-2a+4=a^2+4-2.a.2.cos60$

$\mid EF \mid ^2= b^2-4b+16 $

$\mid FC \mid ^2= c^2-6c+36$ olur.

böylece $\mid AE\mid + \mid EF \mid + \mid FC \mid$  nin minimumunun istendiği görülebilir.  Minimum değeri için doğrusal olmalıdırlar  $AE$ $EF$ ve $EC$ uzunluklarının her birinin karşısındaki açı  $60^{\circ}$ olması gerektiğinden dolayı $ED$ $PF$  $BC$ uzunlukları paraleldir. $AD=a$ $EP=b$  $PK=c$ olduğundan $AB=a+b+c=12$ aynı zamanda $BC=2+4+6=12$ olur. o halde $ABC$ üçgeni eşkenardır bu nedenle istenen ifadenin minimum değeri $12$ olarak bulunur.