Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 18

[AtakanCİCEK]

$2^{2^n}+2^n+n$ ifadesinin $7$ ile tam bölünmesini sağlayan kaç $n\le420$ pozitif tam sayısı vardır?
$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 40 \qquad\textbf{d)}\ 50 \qquad\textbf{e)}\ 60$

[Squidward]

Cevap: $\boxed{E}$

$i)$ $n=3k$ ise $$2^{2^{3k}}+2^{3k}+3k\equiv 0 (mod7) \Rightarrow 3k+3 \equiv 0(mod7)\Rightarrow k\equiv 6(mod7) \Rightarrow n=21m+6$$
$ii)$ $n=3k+1$ ise $$2^{2^{3k+1}}+2^{3k+1}+3k+1\equiv 0 (mod7) \Rightarrow 3k \equiv 0(mod7)\Rightarrow k\equiv 0(mod7) \Rightarrow n=21m+1$$
$ii)$ $n=3k+2$ ise $$2^{2^{3k+2}}+2^{3k+2}+3k+2\equiv 0 (mod7) \Rightarrow 3k+1\equiv 0(mod7)\Rightarrow k\equiv 2(mod7) \Rightarrow n=21m+8$$ olur. Yani her $21$ tekrarda $3$ çözüm vardır. Dolayısıyla cevap $60$'dır.

$n$, örneğin $21m+1$ formundayken n = 22 karşıt örneği var, çözümde hata var gibi yanılmıyorsam.

$2^{2^{3k+1}}+2^{3k+1}+3k+1\equiv 0 (mod7) \Rightarrow 3k \equiv 0(mod7)$ bu aşamada da aydınlatabilirseniz sevinirim

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed E$

$2 \equiv 2 \pmod 7$, $2^2 \equiv 4 \pmod 7$, $2^3 \equiv 1 \pmod 7$ dir. Dolayısıyla üslü olan ifadelerin üssünün $3$'e bölümünden kalanlara bakmak gereklidir.
Bundan dolayı $2^{2^n}$ ifadesinden $2^n \equiv \cdots \pmod 3$ şeklinde de bakmamız gerekir.
$n=2k+1$ olursa $2^n \equiv 2 \pmod 3$
$n=2k$ olursa $2^n \equiv 1 \pmod 3$ olur. dolayısıyla soruyu $2$ farklı duruma ayıralım.

$a)$ $n=2k$ olması halinde $2^n \equiv 1 \pmod 3$ olduğu için denkliğimiz $2+2^{2k}+2k \equiv 0 \pmod 7$ elde edilir.

$1)$ $k \equiv 0 \pmod 3$ olursa ($k=3p$) $3+6p \equiv 0 \pmod 7$ olur. $2p+1 \equiv 0 \pmod 7$, $p \equiv 3 \pmod 7$  ($42$  periyodunda $1$ çözüm)

$2)$ $k \equiv 1 \pmod 3$ olursa ($k=3p+1$) $8+6p \equiv 0 \pmod 7$ olur $3p+4 \equiv 0 \pmod 7$, $p \equiv 1 \pmod 7$ ($42$ periyodunda $1$ çözüm)

$3)$ $k\equiv 2 \pmod 3$ olursa ($k=3p+2$) $8+6p \equiv 0 \pmod 7$ olur  $p \equiv 1 \pmod 7$ ($42$ periyodunda $1$ çözüm)

$b)$ $n=2k+1$ olması halinde $2^n \equiv 2 \pmod 3$ olduğu için denkliğimiz $4+2^{2k+1}+2k+1 \equiv 0 \pmod 7$ elde edilir.

$1)$ $k\equiv 0 \pmod 3$ olursa ($k=3p$) $7+6p\equiv 0 \pmod 7$ olur $p\equiv 0 \pmod 7$ ($42$ periyodunda $1$ çözüm)

$2)$ $k\equiv 1 \pmod 3$ olursa ($k=3p+1$) $8+6p\equiv 0 \pmod 7$ olur $p\equiv 1 \pmod 7$ ($42$ periyodunda $1$ çözüm)

$3)$ $k\equiv 2 \pmod 3$ olursa ($k=3p+2$) $13+6p\equiv 0 \pmod 7$ olur $p \equiv 6 \pmod 7$ ($42$ periyodunda $1$ çözüm)


$42$ periyodunda $6$ çözüm vardır ve $n \leq 420$ için $6\cdot 10=60$ çözüm vardır

[Kerem123]

2^2^n≡2(mod7)ise n≡0(mod2)olur. 4(mod7)isen≡1(mod2)olur. 2^n≡1(mod7)isen≡0(mod3)olur. 2(mod7)isen≡1(mod3)olur4(mod7)isen≡2(mod3)olduğundan n nin 6 modundaki her bir değeri için 2^2^n+2^n+n ifadesinin 7 ile tam bölünmesini sağlayan 42 modunda tam olarak bir tane uygun değer vardır.Bu yüzden 420 den küçük tam olarak 60tane n sayısı bulunur.

[Metin Can Aydemir]

$n$, örneğin $21m+1$ formundayken n = 22 karşıt örneği var, çözümde hata var gibi yanılmıyorsam.

$2^{2^{3k+1}}+2^{3k+1}+3k+1\equiv 0 (mod7) \Rightarrow 3k \equiv 0(mod7)$ bu aşamada da aydınlatabilirseniz sevinirim

Haklısınız, soruyu çözerken bir hata yapmışım ve şansıma cevap doğru çıkmış. Buradaki temel hatam $2$'nin $7$ modunda mertebesinin $3$ olmasını kullanırken üssün içindeki üsse geçince kullandığım modu değiştirmemek olmuş. Atakan'ın da dediği gibi buradaki modu işin içine katıp $21$ modunda değil de $42$ modunda incelemek gerekiyordu. $n=22$ karşıt örneği de tam olarak bundan kaynaklanıyor. İkinci bahsettiğiniz kısım da yine aynı şekilde üste $2^{3k+1}$ yerine direkt olarak $2$ yazdığımdan kaynaklanıyor. Soruya doğru çözümler geldiği için benim çözümümü düzeltmekle uğraşmıyorum, ayrıca yanlış olduğundan milletin kafasını karıştırmamak amacıyla siliyorum.