Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 13

[AtakanCİCEK]

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=|AC|=2$,$|BC|=\sqrt{2}$ dir. $[BC]$ nin orta noktası $D$, $[AC]$ nin orta noktası ise $E$ dir. $ABC$ nin çevrel çemberi üzerinde $AB$ doğrusuna göre $C$ ile farklı tarafta olan ve  $|PC|^2=|PD|^2+|PE|^2$ eşitliğini sağlayan bir $P$ noktası alınıyor. $|PA|+|PB|$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 1+\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 1+\sqrt{3}  \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt{2}  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{3} \qquad\textbf{e)}\ 3$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$PBC$ üçgeninde Stewart teoreminden, $$\dfrac{PB^2+PC^2}{2}-\dfrac{1}{2}=PD^2$$ $PAC$ üçgeninde Stewart teoreminden, $$\dfrac{PA^2+PC^2}{2}-1=PE^2$$ Bu iki denklemi toplayıp $PC^2=PD^2+PE^2$ 'yi kullanırsak, $$PA^2+PB^2=3$$ bulunur.$PAB$ üçgeninde kosinüs teoreminden, $$PA^2+PB^2-2\cdot PA\cdot PB\cdot \cos(\angle BPA)=AB^2 \Rightarrow 3+2\cdot PA\cdot PB\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{4}=4 \Rightarrow PA\cdot PB=\sqrt{2}$$ $$PA+PB=\sqrt{PA^2+PB^2+2\cdot PA\cdot PB}=\sqrt{2}+1$$