Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 10

[AtakanCİCEK]

 Tam olarak $26$ farklı tam kare ile bölünebilen en küçük pozitif tam sayının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$\boxed{B}$

Sayımız $n$ olsun. $n$ sayısının asal bölenleri sayısı $26$ sayısının $2$ ve $13$ şeklinde $2$ çarpanı olduğundan en fazla iki olabilir. Ve tamkare bölenleri sayısı $26$ deniyor. o halde sayımız için $n=p^{2a}q^{2b}$, $p<q$ biçiminde olması gerektiğini söyleriz. En küçük olabilmesi için en küçük asal sayıları seçelim. $p=2$, $q=3$
daha sonra bölen sayısı kuralından ve tamkare bölen sayısı olduğunu göz önüne alarak $(a+1)(b+1)=26$ olur. $p$ daha küçük sayı olduğundan $a+1=13$  seçersek sayımız daha küçük olur.
$a=12$ ve $b=1$ olduğundan sayımız $n=2^{24} \cdot 3^2$ olacaktır. Fermat teoreminden $2^6 \equiv 1 \pmod 7$ olduğundan $2^{24}\equiv 1 \pmod 7$ , $9 \equiv 2 \pmod 7$ olduğundan $n \equiv 2 \pmod 7$ bulunur.