Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 15

[AtakanCİCEK]

$x$ bir irrasyonel sayı olmak üzere, $x^2-2x$ ve $x^3-5x$ rasyonel sayılar ise, $x^3-5x$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed {B}$
 
$x^2-2x$ ifadesini $(x-1)^2-1$ biçiminde yazarsak $x$ sayısının $\sqrt{a}+1$ biçiminde olması gerektiğini görürüz. İkinci ifade olan $x^3-5x$ ifadesinde  $\sqrt{a}+1$ yazarsak $a\sqrt{a}+3a+3 \sqrt{a}+1-5(\sqrt{a}+1)$ elde ederiz ve düzenlersek $(a-2)\sqrt{a}+3a-4$ elde ederiz. Köklü ifade olmaması için  $a=2$ seçersek $3\cdot 2-4=2$ olduğu görülür.

[diktendik]

İki rasyonel sayının oranıda rasyonel olacağından ve $x\neq 0$ olduğunu bildigimizden $$\frac{x^3-5x}{x^2-2x}=\frac{x^2-5}{x-2}\in \mathbb{Q}\Rightarrow \frac{x^2-2x-1}{x-2}\in \mathbb{Q}$$ yazılabilir. Bu oranda üst tarafın rasyonel ve alt tarafın irrasyonel olduğu açıktır. Bu durumda oranının rasyonel olması için üst taraf $0$ olmalıdır. $x^2-2x-1=0$ ve $x^2=2x+1$ bulunur. $x(x^2-5)=x(2x-4)=2(x^2-2x)=2$ bulunur.