Gönderen Konu: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI  (Okunma sayısı 3191 defa)

Çevrimdışı osman211

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 116
  • Karma: +3/-1
23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« : Haziran 03, 2018, 03:31:48 öö »
SORULARI ÇÖZEN VAR MI? ÇÖZDÜYSENİZ ÇÖZÜMLERİ BERABER PAYLAŞALIM BU KISIMDA

Edit: Soruların pdf dosyası ilk mesaja eklenmiştir. (Scarface)
« Son Düzenleme: Haziran 09, 2018, 01:59:45 öö Gönderen: scarface »

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #1 : Haziran 07, 2018, 12:59:05 öö »
Bu seneki sorular kolay olmuş gibi. A kitapçığına göre karışık başlıyorum ben.

22.

Yanıt : C

$x + \dfrac {1} {x} + 2 = \dfrac {2x+1} {x} + x $ şeklinde yazılıp $AO \geq GO$ uygulanırsa

$\dfrac {2x+1} {x} + x \geq 2\sqrt {2x+1}$

Elde edilir. O zaman

$\dfrac {2x+1} {x} + x + \dfrac {2y+1} {y} + y + \dfrac {2z+1} {z} + z \geq 2(\sqrt {2x+1} + \sqrt {2y+1}+\sqrt {2z+1})$

Eşitlik durumunun sağlanması için $\dfrac {2x+1} {x} = x$ olmalı. Yani $x=y=z$ olmalı. Denklem çözülürse $x=\sqrt {2}+1$ olur. $xyz=x^3=7+5\sqrt {2}$

« Son Düzenleme: Haziran 07, 2018, 01:41:10 ös Gönderen: Dogukan6336 »

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #2 : Haziran 07, 2018, 01:15:18 öö »
10.

Yanıt : C

$x=1$ in denklemi sağladığı rahatça görülebilir. $a+1+c=3$ ve $a+c=2$ gelir. İfadeyi düzenleyelim

$(a^2 - 4a - c^2)^2 = ((a-2)^2 - c^2 - 4)^2 = ((a-c-2)(a+c-2) - 4)^2 = (-4)^2 = 16$
« Son Düzenleme: Haziran 07, 2018, 01:17:11 öö Gönderen: Dogukan6336 »

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #3 : Haziran 07, 2018, 01:35:46 öö »
16.

Yanıt : D

$\dfrac {1} {a_{n}^2 + {a_{n}.a_{n+1}}+ a_{n+1}^2} = \dfrac {a_{n+1} - a_{n}} {a_{n+1}^3 - a_{n}^3}$

$a_{n+1}^3 - a_{n}^3 = 1$ ve $a_{0}=0$ olursa
$a_{1} - a_{0}$
$a_{2} - a_{1}$
$.$
$.$
$a_{n+1} - a_{n}$

Toplamı $a_{n+1}$ e eşit olur ve soruda istenen elde edilir. Şimdi $a_{16}$ yı bulmaya çalışalım.

$a_{8}^3 - a_{9}^3=-1$
$a_{9} - a_{10}=-1$
$.$
$.$
$a_{15}^3 - a_{16}^3=-1$

Taraf tarafa toplanırsa

$a_{8}^3 - a_{16}^3=-8$

ve $a_{16} = 2\sqrt[3]{2}$


Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #4 : Haziran 07, 2018, 01:46:38 öö »
8.

Yanıt : B

Birbirinden farklı hangi $n$ değerleri için eşit onu bulmalıyız. Önce işimizi kolaylaştırmak adına

$\dfrac {n^2+3} {n^2+n-3} = 1 + \dfrac {6-n} {n^2 + n - 3}$

Birbirinden farklı $x$ ve $y$ alalım.

$1+\dfrac {6-x} {x^2 + x - 3} = 1 + \dfrac {6-y} {y^2 + y - 3}$

Denklemini çözmeye çalışacağız. Düzenlenirse

$(y-x)(6x+6y+3 - xy)=0$

İlk çarpan $0$ olamayacağından ikinci çarpan $0$ olmalı.

$xy-6x-6y-3=0$

$(x-6)(y-6)=39$

$39$ un pozitif bölen sayısı $4$ olduğundan $4$ farklı $(x,y)$ sırali ikilisi var bunu çözen. Denklem simetrik olduğundan $(a,b)$ bir çözümse, $(b,a)$ da bir çözümdür. İkisini birden alamayız. Kümeden fazla eleman çıkarmış oluruz. O zaman $4/2=2$ eleman çıkarmalıyız kümeden. $2018-2=2016$ olur.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 262
  • Karma: +6/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #5 : Haziran 07, 2018, 12:13:45 ös »
11. Soru

Cevap: D

Öncelikle $OA$ doğrusuna $A$'da dik olan doğruyu çizelim. Bu doğru $y=x$ doğrusunu $P$, $x$ eksenini $R$'de kessin.$ABC$ üçgeninin çevresinin minimum olması için $ABC$'nin $OPR$'nin ortik üçgeni olması gerekir. Ortik üçgenin özelliğinden; $$\dfrac{h_{1}\cdot h_{2}\cdot h_{3}}{A(OPR)}=Ç(ABC)$$ sağlanmalı. $$\dfrac{\vert OA \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \vert PC \vert}{\vert OP \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \dfrac{1}{2}}=\dfrac{\vert OA \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \vert PC \vert}{\vert PC \vert \cdot \sqrt{2} \cdot \vert BR \vert \cdot \dfrac{1}{2}}=\vert OA\vert \cdot \sqrt{2}=\sqrt{2a^2+2b^2}=Ç(ABC)=6 \Rightarrow a^2+b^2=18$$
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #6 : Haziran 07, 2018, 01:32:28 ös »
17.

Yanıt : E

$\dfrac {1+n+n^2+...+n^{10}} {n+10} = \dfrac {n^{11}-1} {(n+10)(n-1)}$ olur. Şimdi bölme yapalım.

$n^{11}-1 = (n+10)(n-1).Q(x) +an+b$

$a+b=0$

$-(10^{11}+1)=b-10a$

$11b=-(10^{11}+1)=-11.(10^{10}-10^9+10^8-...+1)$

$b=-9090909091$

$\dfrac {9090909091(n-1)} {(n-1)(n+10)}$

$n=9090909081$ ve $n/9 = 1010101009 \equiv 4 (mod 9)$

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #7 : Haziran 09, 2018, 05:16:16 öö »
1.

Yanıt: A

Öncelikle $\sqrt{9-\sqrt{65}}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{9-\sqrt{65}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{18-2\sqrt{65}}$ olup $18=13+5$ ve $65=13\cdot 5$ olduğundan $\sqrt{9-\sqrt{65}}=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot (\sqrt{13}-\sqrt{5})$ yazılabilir. Buna göre,

$K=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot (\sqrt{13}-\sqrt{5})(\sqrt{13}-\sqrt{5})(9+\sqrt{65})$

$K=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot (18+2\sqrt{65})(9+\sqrt{65})$

$K=\sqrt 2\cdot (9^2 - 65^2)=16\sqrt 2$

elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #8 : Haziran 10, 2018, 09:55:14 ös »
18.

Yanıt : A

$b=2$ alalım ki en küçüğü elde etmeye çalışalım.

$n=2^4 + c^3 + d^2 + 9$

$c=3$ almayı denersek $n^2 \equiv d^2 + 1 (mod 3)$ olur. Soruya göre $3$ ün $n$ yi bölmesi lazım. Ancak $d^2 \equiv 0,1 (mod 3)$ olduğundan bu mümkün değil.

$c=4$ almayı denersek $d^2 \equiv 3 (mod 4)$ olmalı ama bu yine mümkün değil.

$c=5$ için $d^2 \equiv 0 (mod 5)$ olmalı. Bu olabilir. $d=10$ seçersek

$n= 16 + 125 + 100 + 9 = 250 = 5^3.2$

sayısı istenen şartı sağlar. Ve pozitif bölen sayısı $8$ dir. Ancak bu en küçüğü mü ?

$b=3$ alırsak yine aynı şekilde ilerler ve daha büyük sayılar buluruz.




Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #9 : Haziran 11, 2018, 02:05:17 öö »
2.

Yanıt: D

$m(\widehat{ABE})=90^\circ$ olacak biçimde $E\in [AD]$ noktasını işaretleyelim. $|AC|=x, |AE|=a=\dfrac{8}{\sqrt 3}, |BE|=y=\dfrac{4}{\sqrt 3}$ ve $|ED|=z=8-\dfrac{8}{\sqrt 3}$ olur. $BCD$ eşkenar üçgen ve $BCDE$ bir kirişler dörtgeni olduğundan Ptolemy Teoremi'nin iyi bilinen bir sonucu olarak $|EC|=b=y+z$ olup $b=8-\dfrac{4}{\sqrt 3}$ tür. Ayrıca, aynı yayı gören çevre açılardan $m(\widehat{BEC})=m(\widehat{BDC})=60^\circ $ dir. Böylece $m(\widehat{AEC})=120^\circ $ olup kosinüs teoreminden $x^2=a^2+b^2+ab$ dir. Değerler yerine yazılırsa $x^2=80$ ve $x=4\sqrt5 $ bulunur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı tanermeral

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 14
  • Karma: +1/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #10 : Haziran 11, 2018, 04:51:52 öö »
3.soru
Dr. Taner Meral

Çevrimdışı tanermeral

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 14
  • Karma: +1/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #11 : Haziran 11, 2018, 05:11:00 öö »
4.soru
Dr. Taner Meral

Çevrimdışı tanermeral

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 14
  • Karma: +1/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #12 : Haziran 11, 2018, 05:45:50 öö »
7.soru
Dr. Taner Meral

Çevrimdışı tanermeral

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 14
  • Karma: +1/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #13 : Haziran 11, 2018, 06:18:42 öö »
9.soru
Dr. Taner Meral

Çevrimdışı tanermeral

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 14
  • Karma: +1/-0
Ynt: 23. ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI
« Yanıtla #14 : Haziran 11, 2018, 06:36:28 öö »
12.soru
Dr. Taner Meral

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal