Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2017 Soru 4

[Eray]

$a>b>1$ gerçel sayıları$$(ab+1)^2 + (a+b)^2\le 2(a+b)(a^2-ab+b^2+1)$$eşitsizliğini sağlıyorsa, $\dfrac{ \sqrt{a-b} }{b-1}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

(Fehmi Emre Kadan)

[YavuzSelim]

 

     Bu ifadeyi açıp hepsini bir tarafa toplayıp düzenlediğimizde;

    $(a^2-2b+1)(b^2-2a+1)\leq 0$ elde edilir.

    $a\geq b\Longrightarrow a^2\geq b^2\Longrightarrow a^2-2b+1\geq b^2-2b+1\geq 0$
 
    $\Longrightarrow b^2-2a+1\leq 0$ olmalı.

    $b^2+1\leq 2a$

    $b^2+2b+1\leq 2a+2b$

    $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq \frac{\sqrt{a+b}}{b+1}$ bulunur.