Gönderen Konu: Bir Olimpiyat Problemi  (Okunma sayısı 1369 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 782
  • Karma: +14/-0
Bir Olimpiyat Problemi
« : Ağustos 24, 2017, 04:59:49 ös »
İkizkenar olmayan bir $ ABC $ üçgeninde $ A $ ve $ B $ açılarına ait açıortay uzunlukları ile bu açıortayların kestikleri kenarların uzunlukları ters orantılıdır. Buna göre $ m(C) $ kaç derecedir? (sharygin geometri olimpiyatlari-2012)
« Son Düzenleme: Eylül 12, 2017, 12:30:29 ös Gönderen: alpercay »

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 782
  • Karma: +14/-0
Ynt: Bir Olimpiyat Problemi
« Yanıtla #1 : Eylül 12, 2017, 12:27:25 ös »
Üçgenin $A$  ve $B$  köşelerinden çıkan  yükseklik ve açıortaylar sırası ile $h_a,n_A$  ve  $h_b,n_B$  bu ikilier arasındaki açılar sırasıyla    $\theta$  ve  $\alpha$   olsun.  Problemin hipotezinden   $n_B/n_A=at/bt$  ve her üçgen için geçerli olan  $h_a/h_b=bk/ak$  eşitliklerini yazabiliriz. Bir üçgende bir köşeden çıkan yükseklik ile açıoartay arasında kalan açı (kanıtı kolayca yapılabilir) eşitliğinden   $\alpha=|A-C|/2$   ve  $\theta=|B-C|/2$  eşitlilkleri de mevcuttur. Şimdi $cos\alpha=h_b/n_B=k/t=cos|A-C|/2$    ve     $cos\theta=k/t=cos|B-C|/2$   ise  $cos|A-C|/2=cos|B-C|/2$  trigonometrik eşitliğinden  ya  $A=B$  ya da  $A+B=2C$  olmalıdır. $ABC$  üçgeninin ikizkenar olma durumu dışlandığından geçerli olan ikinci eşitliktir. Üçgenin iç açıları arasındaki $A+B+C=180\,^{\circ}$  bağıntısı ve bu eşitlik birlikte düşünülürse   $<C=60\,^{\circ}$  derece  olduğu görülür.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal