Fermat asalları

[Dogukan6336]

• Tweet

Tanım: $ n\in N$  olmak üzere $ 2^{2^{n}} + 1$  şeklinde yazılabilen asal sayılara fermat asalları denir.

Tanım: $(10,p) = 1$ ve $p$ asal sayı olmak üzere, $10^x \equiv 1\pmod{p}$ denkliğini sağlayan en küçük sayının $p-1$ olmasını sağlayan $p$ asallarına ilkel asallar denir.

Soru : $3$ ve $5$ asalı hariç, tüm fermat asallarının ilkel asal olduğunu gösterin.

[Metin Can Aydemir]

• Tweet

$n>1$ dir. Fermat asalı bir $p$'nin ilkel asal olma şartı $\left (\dfrac{a}{p}\right)$ legendre sembolü olmak üzere $\left(\dfrac{10}{p}\right)=-1$ olmasıdır. Aksini kabul edelim. $\left(\dfrac{10}{p}\right)=1$ ve $p$ ilkel bir fermat asalı olsun. $$\left(\dfrac{10}{p}\right)\equiv 10^{\frac{p-1}{2}}\pmod{p}$$ olduğundan $p$
ilkel asal olamaz. $\left(\dfrac{10}{p}\right)=-1$ olsun. $10$'un $p$ modundaki mertebesi $k$ ise $k\mid p-1=2^{2^n}$ olacaktır ve buradan $k=2^a$ formatında bulunur. Eğer $a\neq 2^n$ ise $a\leq 2^n-1$'dir. $$\left(\dfrac{10}{p}\right)\equiv 10^{\frac{p-1}{2}}\equiv 10^{2^{2^{n}-1}}\equiv 10^{2^a\cdot 2^{2^n-1-a}}\equiv \left(10^{2^a}\right)^{2^n-1-a}\equiv 1\pmod{p}$$ olacaktır. Bu $\left(\dfrac{10}{p}\right)=-1$ olmasıyla çelişir. Dolayısıyla $10$'un mertebesi $p-1$'dir. Yani $p$ ilkeldir. Şimdi $5$'ten büyük fermat asalları için $\left(\frac{10}{p}\right)=-1$ olduğunu gösterelim.
$$\left (\dfrac{10}{p}\right)=\left(\dfrac{2}{p}\right)\left(\dfrac{5}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}\left(\dfrac{5}{p}\right)$$ $p^2-1\equiv (2^{2^n}+1)^2-1 \equiv 2^{2^{n+1}}+2^{2^n+1}\equiv 0\pmod{16}\Rightarrow \left(\dfrac{10}{p}\right)=\left(\dfrac{5}{p}\right)$
$$\left(\dfrac{5}{p}\right)\left(\dfrac{p}{5}\right)=(-1)^{\frac{5-1}{2}\frac{p-1}{2}}=1$$ $p^{\frac{5-1}{2}}\equiv (2^{2^{n}} + 1)^2\equiv -1\pmod{5} \Rightarrow \left(\dfrac{5}{p}\right)=\left(\dfrac{p}{5}\right)=-1$ $$\left(\dfrac{10}{p}\right)=\left(\dfrac{5}{p}\right)=-1$$ dolayısıyla $5$ ten büyük tüm fermat asalları ilkeldir.

[Dogukan6336]

• Tweet

$n>1$ dir. $p$ nin ilkel asal olma şartı $(\dfrac{a}{p})$ legendre sembolü olmak üzere $(\dfrac{10}{p})=-1$ olmasıdır. Bunu gösterelim.
$$(\dfrac{10}{p})=(\dfrac{2}{p})(\dfrac{5}{p})=(-1)^{\dfrac{p^2-1}{8}}(\dfrac{5}{p})$$ $p^2-1\equiv (2^{2^n}+1)^2-1 \equiv 2^{2^{n+1}}+2^{2^n+1}\equiv 0 (mod 16)\Rightarrow (\dfrac{10}{p})=(\dfrac{5}{p})$
$$(\dfrac{5}{p})(\dfrac{p}{5})=(-1)^{\dfrac{5-1}{2}\dfrac{p-1}{2}}=1$$ $p^{\dfrac{5-1}{2}}\equiv (2^{2^{n}} + 1)^2\equiv -1(mod5) \Rightarrow (\dfrac{5}{p})=(\dfrac{p}{5})=-1$ $$(\dfrac{10}{p})=(\dfrac{5}{p})=-1$$ dolayısıyla $5$ ten büyük tüm fermat asalları ilkeldir.

$\left(\dfrac{10}{11}\right)=-1$ ama $10^2 = 1\pmod{11}$

[Metin Can Aydemir]

• Tweet

$n>1$ dir. $p$ nin ilkel asal olma şartı $(\dfrac{a}{p})$ legendre sembolü olmak üzere $(\dfrac{10}{p})=-1$ olmasıdır. Bunu gösterelim.
$$(\dfrac{10}{p})=(\dfrac{2}{p})(\dfrac{5}{p})=(-1)^{\dfrac{p^2-1}{8}}(\dfrac{5}{p})$$ $p^2-1\equiv (2^{2^n}+1)^2-1 \equiv 2^{2^{n+1}}+2^{2^n+1}\equiv 0 (mod 16)\Rightarrow (\dfrac{10}{p})=(\dfrac{5}{p})$
$$(\dfrac{5}{p})(\dfrac{p}{5})=(-1)^{\dfrac{5-1}{2}\dfrac{p-1}{2}}=1$$ $p^{\dfrac{5-1}{2}}\equiv (2^{2^{n}} + 1)^2\equiv -1(mod5) \Rightarrow (\dfrac{5}{p})=(\dfrac{p}{5})=-1$ $$(\dfrac{10}{p})=(\dfrac{5}{p})=-1$$ dolayısıyla $5$ ten büyük tüm fermat asalları ilkeldir.

$(\dfrac{10}{11})=-1$ ama $10^2 = 1 (mod 11)$

Teşekkürler, açık olmayan yerleri düzelttim.