Gönderen Konu: Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 32  (Okunma sayısı 1428 defa)

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 32
« : Temmuz 31, 2017, 12:05:27 öö »
$ 3^{2^{2017}} - 1$  sayısının $2^{2020}$ sayısına bölümünden kalan kaçtır ?

$\textbf{a)}\ 2^{2017} \qquad\textbf{b)}\ 2^{2019}  \qquad \textbf{c)}\ 2^{2017}+1  \qquad \textbf{d)}\ 2^{2018}+1  \qquad\textbf{e)}\ 2^{2018}+2$




Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 32
« Yanıtla #1 : Temmuz 31, 2017, 12:17:09 öö »
Yanıt : $\boxed B$

$3^{2^{k}}-1 = (3^{2^{k-1}}+1)(3^{2^{k-2}}+1)(3^{2^{k-3}}+1)...(3^2+1)(3+1)(3-1)$ şeklindedir.

$3^{2^{k}}+1 \equiv 0 (mod 2)$

$3^{2^{k}}+1 \equiv 2 (mod 4) (k\neq0)$

olacaktır. $k = 0$ için $3+1 = 4$ olup $4$ e tam bölünecektir. O halde $3^{2^{k}}-1$ ifadesindeki $2$ çarpanlarının sayısı $(k-1).1 + 1 + 2 = k+2$ tanedir. Bu bilgi yardımıyla $k$ bir tam sayı olmak üzere, bölme algoritması yardımıyla $\dfrac {3^{2^{2017}}-1} {2^{2019}} = 2k+1$ şeklinde yazabiliriz. $3^{2^{2017}}-1 = 2^{2020}k + 2^{2019}$  bulunur.
« Son Düzenleme: Temmuz 31, 2017, 12:20:20 öö Gönderen: Dogukan6336 »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal