Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 23

[Dogukan6336]

$ \left| AB\right| = \left| AC\right|$ ve $\tan B = \dfrac {5} {12}$ olan $ABC$ üçgeni veriliyor. Yarıçapı $1$ olan bir çember $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında teğet olup $BC$ kenarını $P$ ve $Q$ noktalarında kesmektedir. $P$, $B$ ile $Q$ arasında ve $\left| BK\right| = \dfrac {12} {5}$ ise $BQK$ üçgeninin alanı kaçtır ?

$\textbf{a)}\  \dfrac {3} {2} \qquad\textbf{b)}\  \dfrac {8} {5}  \qquad \textbf{c)}\  \dfrac {108} {65}  \qquad \textbf{d)}\  \dfrac {25} {13} \qquad\textbf{e)}\  \dfrac {144} {65}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Çemberin merkezi $O$ olsun. Merkezden $K,L$ noktalarına yarıçapları çizelim. $OKB$ ve $OLC$ dik üçgenlerinde $\tan \widehat{OBK}=\tan \widehat{OCL}= \dfrac{1}{12/5}=\dfrac{5}{12}$ olduğundan $\widehat{OBK}=\widehat{CBL}$ dir. Yani $O$, $[BC]$ nin orta noktasıdır. Buradan $|BC|=\dfrac{26}{5}$ bulunabilir. $|BP|=|CQ|=x$ ve $|BQ|=\dfrac{26}{5}-x$ dersek $B$ noktasının çembere göre kuvvetinden $|BK|^2=|BP|\cdot |BQ|$ olup $\left( \dfrac{12}{5} \right)^2 = x\cdot \left( \dfrac{26}{5}-x \right)$ denkleminden uygun $x$ değeri $x=\dfrac{8}{5}$ bulunur. $|BQ|=\dfrac{26}{5}-x=\dfrac{18}{5}$ tir.

$$ Alan(BQK)=\dfrac{1}{2}|BK|\cdot |BQ| \cdot \sin \widehat{KBQ} = \dfrac{108}{5}$$ elde edilir.