Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 21

[Dogukan6336]

$1,2,3,3,5,5,8,8$ rakamlarını kullanarak aynı olan rakamlar yan yana olmayacak şekilde oluşturulabilen beş basamaklı kaç farklı şifre vardır ?

$\textbf{a)}\  980  \qquad\textbf{b)}\ 840  \qquad \textbf{c)}\ 720  \qquad \textbf{d)}\ 660 \qquad\textbf{e)}\ 580$

[Dogukan6336]

Cevap : $\boxed D$

$\left\{ 1,2,3,5,8\right\}  $ şeklinde $5! = 120$ tane şifre oluşturabilirim.

$\left\{ 3,3,.,.,.\right\} $ şeklinde, boş olan 3 yere $\left\{ 1,2,5,8\right\}$ kümesinden bir eleman seçerek, $3$ rakamlarının yan yana olmadığı $(\dfrac {5!} {2!} - 4!).\left( \begin{matrix} 4\\ 3\end{matrix} \right) $ şifre oluşturabilirim. Aynı şeyi $\left\{ 5,5,.,.,.\right\} $ ve $\left\{ 7,7,.,.,.\right\} $ kümeleri için yapacağımdan $36.4.3 = 432$ şifre oluşturabilirim.

Şimdi aynı sayma işlemini $\left\{ 3,3,5,5,.\right\}$ , $\left\{ 3,3,8,8,.\right\}$ , $\left\{ 5,5,8,8,.\right\}$ kümeleri için yapacağım. $\left\{ 3,3,5,5,.\right\}$ kümesinde boş kalan yere  $\left\{ 1,2,8\right\}$ elemanlarından birini getirebilirim. Dahiliyet hariciyet prensibini de kullanarak 3 kümedeki, aynı olan herhangi iki rakamın bir araya gelmediği

$9(\dfrac {5!} {2!.2!}- (\dfrac {4!} {2!} + \dfrac {4!} {2!} - 3!)) = 108$

şifre oluşturabilirim. Toplamda $120+432+108 = 660$ şifre oluşur.