Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 16  (Okunma sayısı 1459 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1409
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 16
« : Mayıs 25, 2017, 05:49:06 ös »
$p$ bir tek asal sayı olmak üzere, $\sqrt{x(x-p^2)}$ sayısının bir tam sayı olmasını sağlayan $x$ pozitif tam sayılarından en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{p^2+1}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{p^4+1}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \left (\dfrac{p^2+1}{2}\right )^2
\qquad\textbf{d)}\ \left (\dfrac{p^2-1}{2}\right )^2
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{(p^2+1)(p^2-p+1)}{4}
$

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 16
« Yanıtla #1 : Mayıs 29, 2017, 02:33:09 ös »
Cevap : $ \boxed D$

$m$ negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere,

                                         
$x(x-p^2) = m^2$

olmasını istiyoruz. Bunun için bir kaç durum inceleyeceğiz. Kısalık olması için $OBEB(a,b)= (a,b)$ olarak göstereceğiz.

$ (x , (x-p^2)) = d$ olsun. $d$  sayısı $ x-(x-p^2) = p^2$  sayısını böleceğinden $(x , (x-p^2)) = 1,p,p^2$  sayılarından biri olabilir.

$i) d = p^2$  olsun. Bu durumda $ x = p^2.k$ ve $x-p^2 = p^2(k-1)$ olacaktır. Bu ikisini çarparsak

$p^4k(k-1) = m^2$

olacaktır. Sonucun tam kare olabilmesi için $k(k-1)$ sayısının da tam kare olması lazım. Bu çarpımın tam kare olabilmesinin tek yolu $k = 1$ olmasıdır. Bu durumda $x = p^2$ olarak bulunur.

$ ii) d = p$  olsun. Bu durumda $x = pk$ ve $ x-p^2 = p(k-p)$  olacaktır. Bu ikisinin çarpımı

$p^2k(k-p)=m^2$


olarak bulunur. Sonucun tam kare olabilmesi için $k(k-p)$  çarpımının da tam kare olması lazım. $(k , (k-p)) = p$ olursa, tekrardan $i)$  deki duruma döneceğiz. O halde $(k,k(k-p)) = 1$  olmalı. Aralarında asal iki sayının çarpımının tam kare olabilmesi için iki sayıda tam kare olmalıdır.

$k = a^2$ ve $k-p = b^2$  olsun. $(a-b)(a+b) = p$  olup, $a-b = 1$ ve $ a+b = p$  olacaktır. Buradan $a = p+1/2$  olacaktır. $x = pk$  olup, $x = p.(p+1)^2/4$  olacaktır.

$iii) d = 1$  olsun. Bu durumda

$x = a^2$  ve $x-p^2 = b^2$  olacaktır. $(a-b)(a+b) = p^2$  eşitliğinden bir kaç durum daha inceleyelim. $a-b = 1$  ve $ a+b = p^2$  olursa, $a = p^2 + 1 / 2$  ve $x = (p^2+1)^2 / 4$  olacaktır. 

Şimdi sıra geldi $p(p+1)^2 / 4$  , $ p^2$  ve $ (p^2 + 1)^2 / 4$  sayılarını sıralamaya. En iyisi $p = 3$  verip hangisinin daha büyük olduğuna bakmak. Bu durumda bariz olarak en küçük $p^2$  ve en büyük $(p^2+1)^2 / 4$  olacaktır. Bu iki sayının farkı $(p^2-1)^2 / 4$  olacaktır.
« Son Düzenleme: Mayıs 29, 2017, 10:23:20 ös Gönderen: Dogukan6336 »

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 262
  • Karma: +6/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 16
« Yanıtla #2 : Mayıs 29, 2017, 10:18:16 ös »
Benim çözümüm,

$0<x<p^2$ için kökün içi negatif olur.Çelişki. $x=p^2$ için şart sağlar. $x>p^2$ için,

$$x^2-p^2x=t^2\Rightarrow 4x^2-4p^2x+p^4=(2x-p^2)^2=4t^2+p^4\Rightarrow (2x-p^2-2t)(2x-p^2+2t)=p^4$$ olur. $max\{x\}$ için $(2x-p^2+2t)=p^4,(2x-p^2-2t)=1 $ veya tam tersi olmalı.Buradan $x=(\dfrac{p^2+1}{2})^2$ bulunur.İstenen fark $(\dfrac{p^2+1}{2})^2-p^2=(\dfrac{p^2-1}{2})^2 $ olur.
« Son Düzenleme: Mayıs 30, 2017, 03:49:28 öö Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal