Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 16

[ERhan ERdoğan]

$p$ bir tek asal sayı olmak üzere, $\sqrt{x(x-p^2)}$ sayısının bir tam sayı olmasını sağlayan $x$ pozitif tam sayılarından en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{p^2+1}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{p^4+1}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \left (\dfrac{p^2+1}{2}\right )^2
\qquad\textbf{d)}\ \left (\dfrac{p^2-1}{2}\right )^2
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{(p^2+1)(p^2-p+1)}{4}
$

[Dogukan6336]

Cevap : $ \boxed D$

$m$ negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere,
$$x(x-p^2) = m^2$$
olmasını istiyoruz. Bunun için bir kaç durum inceleyeceğiz. Kısalık olması için $OBEB(a,b)= (a,b)$ olarak göstereceğiz.

$ (x , (x-p^2)) = d$ olsun. $d$  sayısı $ x-(x-p^2) = p^2$  sayısını böleceğinden $(x , (x-p^2)) = 1,p,p^2$  sayılarından biri olabilir.

$i) d = p^2$  olsun. Bu durumda $ x = p^2.k$ ve $x-p^2 = p^2(k-1)$ olacaktır. Bu ikisini çarparsak

$$p^4k(k-1) = m^2$$

olacaktır. Sonucun tam kare olabilmesi için $k(k-1)$ sayısının da tam kare olması lazım. Bu çarpımın tam kare olabilmesinin tek yolu $k = 1$ olmasıdır. Bu durumda $x = p^2$ olarak bulunur.

$ ii) d = p$  olsun. Bu durumda $x = pk$ ve $ x-p^2 = p(k-p)$  olacaktır. Bu ikisinin çarpımı

$$p^2k(k-p)=m^2$$

olarak bulunur. Sonucun tam kare olabilmesi için $k(k-p)$  çarpımının da tam kare olması lazım. $(k , (k-p)) = p$ olursa, tekrardan $i)$  deki duruma döneceğiz. O halde $(k,k(k-p)) = 1$  olmalı. Aralarında asal iki sayının çarpımının tam kare olabilmesi için iki sayıda tam kare olmalıdır.

$k = a^2$ ve $k-p = b^2$  olsun. $(a-b)(a+b) = p$  olup, $a-b = 1$ ve $ a+b = p$  olacaktır. Buradan $a = p+1/2$  olacaktır. $x = pk$  olup, $x = p.(p+1)^2/4$  olacaktır.

$iii) d = 1$  olsun. Bu durumda

$x = a^2$  ve $x-p^2 = b^2$  olacaktır. $(a-b)(a+b) = p^2$  eşitliğinden bir kaç durum daha inceleyelim. $a-b = 1$  ve $ a+b = p^2$  olursa, $a = p^2 + 1 / 2$  ve $x = (p^2+1)^2 / 4$  olacaktır. 

Şimdi sıra geldi $p(p+1)^2 / 4$  , $ p^2$  ve $ (p^2 + 1)^2 / 4$  sayılarını sıralamaya. En iyisi $p = 3$  verip hangisinin daha büyük olduğuna bakmak. Bu durumda bariz olarak en küçük $p^2$  ve en büyük $(p^2+1)^2 / 4$  olacaktır. Bu iki sayının farkı $(p^2-1)^2 / 4$  olacaktır.

[Metin Can Aydemir]

$0<x<p^2$ için kökün içi negatif olur. Çelişki. $x=p^2$ için şart sağlar. $x>p^2$ için,

$$x^2-p^2x=t^2\Rightarrow 4x^2-4p^2x+p^4=(2x-p^2)^2=4t^2+p^4\Rightarrow (2x-p^2-2t)(2x-p^2+2t)=p^4$$ olur. $\max\{x\}$ için $(2x-p^2+2t)=p^4,(2x-p^2-2t)=1 $ veya tam tersi olmalı. Buradan $x=\left(\dfrac{p^2+1}{2}\right)^2$ bulunur. İstenen fark $\left(\dfrac{p^2+1}{2}\right)^2-p^2=\left(\dfrac{p^2-1}{2}\right)^2 $ olur.