Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 14  (Okunma sayısı 1216 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1409
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 14
« : Mayıs 25, 2017, 01:34:30 öö »
$x,y,z,w,v$ negatif olmayan tam sayılardır. $$x^2+y^2+z^2+w^2+v^2=40$$ denklemini gerçekleyen tüm $(x,y,z,w,v)$ tam sayı beşlilerinin sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 56
\qquad\textbf{b)}\ 66
\qquad\textbf{c)}\ 112
\qquad\textbf{d)}\ 120
\qquad\textbf{e)}\ 122
$

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 262
  • Karma: +6/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 14
« Yanıtla #1 : Mayıs 25, 2017, 09:25:47 ös »
Cevap: $\boxed D$

$6\geq x\geq y\geq z\geq w\geq v\geq 0$ olsun. $5x^2\geq 40 \Rightarrow x^2\geq 8 \Rightarrow 6\geq x\geq 3$ olur.

$i) x=3$ ise,
$$4y^2\geq y^2+z^2+w^2+v^2=31 \Rightarrow 3=x \geq y \geq 3 \Rightarrow y=3$$ $$3z^2 \geq z^2+w^2+v^2=22 \Rightarrow z\geq 3 \Rightarrow z=3$$ $$w^2+v^2=13 \Rightarrow (w,v)=(3,2) \Rightarrow (x,y,z,w,v)=(3,3,3,3,2)$$ bulunur.

$ii) x=4$ ise,
$$4y^2\geq y^2+z^2+w^2+v^2=24 \Rightarrow 4\geq y\geq 3$$ $y=3$ ise,
$$3z^2\geq z^2+w^2+v^2=15 \Rightarrow z=3$$ $$w^2+v^2=6$$ Buradan çözüm gelmez. $y=4$ ise,
$$z^2+w^2+v^2=8 \Rightarrow (z,w,v)=(2,2,0) \Rightarrow (x,y,z,w,v)=(4,4,2,2,0)$$ bulunur.

$iii) x=5$ ise,
$$4y^2\geq y^2+z^2+w^2+v^2=15 \Rightarrow 3\geq y\geq 2$$ $y=2$ ise,
$$3z^2\geq z^2+w^2+v^2=11 \Rightarrow z=2$$ $$w^2+v^2=7$$ Buradan çözüm gelmez. $y=3$ ise,
$$z^2+w^2+v^2=6 \Rightarrow (z,w,v)=(2,1,1) \Rightarrow (x,y,z,w,v)=(5,3,2,1,1)$$ bulunur.

$iv) x=6$ ise
$$y^2+z^2+w^2+v^2=4\Rightarrow (x,y,z,w,v)=(6,2,0,0,0),(6,1,1,1,1)$$ çözümleri bulunur. Permütasyonlarını alırsak $\dfrac{5!}{4!}+\dfrac{5!}{2!\cdot 2!}+\dfrac{5!}{2!}+\dfrac{5!}{4!}+\dfrac{5!}{3!}=120$ bulunur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal