Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 09  (Okunma sayısı 1749 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 262
  • Karma: +6/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 09
« : Mayıs 18, 2017, 06:05:54 ös »
İçi dolu bir küre, merkezinden geçen $100$ düzlem ile en fazla kaç parçaya bölünür?

$\textbf{a)}\  2^{100}-2  \qquad\textbf{b)}\ 9898  \qquad \textbf{c)}\ 2^{198}+2  \qquad \textbf{d)}\ 3^{100}+2  \qquad\textbf{e)}\ 9902$
« Son Düzenleme: Ocak 28, 2018, 06:26:47 ös Gönderen: Eray »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2974
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 9
« Yanıtla #1 : Mayıs 18, 2017, 06:40:33 ös »
Yanıt: $\boxed{E}$

Problemi genel halde çözelim ve merkezden geçen $n$ düzlem küreyi en çok $a_n$ bölgeye ayırsın. $a_1=2$ dir. Küre ile düzlemin kesişimi bir çemberdir. Bu çemberin yarıçapı ile kürenin yarıçapının eşit olacağına dikkat edelim. Bu şekilde $n$ tane çember oluşmuş olur. Alınan herhangi iki çember çifti için $2$ kesişim noktası ve $4$ çember yayı oluşmaktadır. $n+1$ inci çember ile $a_{n+1}$ bölge oluşmuş olsun. $n+1$ inci çember, önceki $n$ çemberin herbiriyle farklı noktalarda kesişecek biçimde çizilebilir. Dolayısıyla $2n$ yeni kesişim noktası eklenmiş olur ve $2n$ tane yeni çember yayı oluşmuş olur. Her yeni çember yayı, yeni oluşan bir bölgenin sınırını oluşturur. Yani $2n$ tane yeni bölge oluşur. $n\geq 1$ için $a_{n+1}=a_n + 2n $ bağıntısına ulaşırız. Bunu $$\sum_{n=1}^{k-1} (a_{n+1}-a_n) =\sum_{n=1}^{k-1} 2n $$
biçiminde yazarsak $a_k - a_1 = k(k-1)$ ya da $a_k=k^2-k +2$ genel terimini elde ederiz. Artık $$a_{100}= 10^4 -10^2+2=9902 $$ olduğunu bulmak kolaydır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal