Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 08

[Lokman Gökçe]

$n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, $(n+2)^4$ sayısının $(n+1)^4$ sayısına bölümünden kalan $K_n$ olsun. $K_n$ sayısının $4$ ile bölümünden kalan $R_n$ ise $R_1+R_2+R_3+\cdots + R_{2016} + R_{2017}$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\  2016
\qquad\textbf{b)}\ 2017
\qquad \textbf{c)}\ 4030
\qquad \textbf{d)}\ 4031
\qquad\textbf{e)}\ 6053
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed C$

$(n+2)^4-(n+1)^4=4n^3+18n^2+28n+15$ dir. $n>4$ için $(n+1)^4>4n^3+18n^2+28n+15\Rightarrow n^4-12n^2-24n-14>0$ dır.Çünkü Decartes İşaret Değişimine göre bu fonksiyonun sadece $1$ pozitif kökü vardır, bu kökün ise $(4,5)$ aralığında olduğu görülebilir.Dolayısıyla $n>4$ için $K_n=4n^3+18n^2+28n+15$ olur.
$n>4$ ve $n=2k+1$ için $R_n=1$ ve $n=2k$ için $R_n=3$ olur. Tek tek denersek $R_1=1,R_2=1,R_3=1,R_4=2$ bulunur.

$R_1+R_2+\dots +R_{2017}=1+1+1+2+1+3+1+3+\dots+1+3+1=4030$ olur.

[muuurat]

cevap D verilmiş.

[Metin Can Aydemir]

İki soruda hata var biri bu soru cevabı yanlış şık verilmiş, diğeri ise 2. soru paydayı sıfır yapan değerler çıkarılmamış buyüzden doğru cevap şıklarda yok.İtiraz edilmişti ama değiştirilmedi halen

[muuurat]

Teşekkür ederim ben de 4030 bulmuştum ama cevap anahtarı insanı tedirgin ediyor. Son yıllarda (uzun zamandır) hiç hata çıkmıyordu. Sonuçlar ne zaman açıklanır acaba?

[Metin Can Aydemir]

Herhangi bir bilgim yok sadece TUBİTAK in sitesinde 1 buçuk ay içinde diyor yani haziranın sonunda açıklanır galiba