Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 04  (Okunma sayısı 1369 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 262
  • Karma: +6/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 04
« : Mayıs 16, 2017, 10:25:03 ös »
Beş basamaklı bir sayının birler ve onlar basamağı silindiğinde tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir, ayrıca bu sayının binler ve on binler basamağı silindiğinde de tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir. Bu özelliklere sahip kaç farklı beş basamaklı doğal sayı vardır?

$
\textbf{a)}\  52
\qquad\textbf{b)}\ 54
\qquad \textbf{c)}\ 57
\qquad \textbf{d)}\ 58
\qquad\textbf{e)}\ 60
$
« Son Düzenleme: Ocak 28, 2018, 06:26:40 ös Gönderen: Eray »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 54
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 4
« Yanıtla #1 : Mayıs 28, 2017, 02:25:15 ös »
Cevap : $\boxed C$

Sayımız $abcde$  olsun. $abc = x^2$  ve $cde = y^2$  olmalı. Tam kare $3$  basamaklı sayılar,

$10^2 , 11^2 , 12^2 , 13^2 , .....31^2$

olup, $ 22$  tanedir. $cde = 10^2 = 100$  seçersek, $x^2 \equiv 1 (mod 10)$  olmalı. Bu denkliği sağlayan sayılar $x \equiv 1$  ve $x \equiv 9$  olmak üzere $2$ tanedir.

O halde $ y = 10 $  için $ x = 11,19,21,29,31$  olmak üzere $5$  tanedir. Bu mantıkla diğerlerini hesaplamaya çalışalım.

$y = 11$  için $x^2 \equiv 1 (mod 10) \Rightarrow x \equiv 1 , x \equiv 9 \Rightarrow  x = 11,19,21,29,31$ olmak üzere 5 tanedir.

O halde artık pratik hesaplamaya başlayalım. $y = 10,11,12,13,14$ sayılarından herbiri için $5$ tane $x$ değeri var. O halde $25$ sayı var.

$y = 15,16,17$ için $x^2 \equiv 2 (mod 10)$ denkliğinin çözümü yoktur.

$y = 18,19$ için $x^2 \equiv 3 (mod 10)$ denkliğinin çözümü yoktur.

$y = 20,21,22$ için $x^2 \equiv 4 (mod 10)$ denkliğinin çözümü $x \equiv 2$ ve $x \equiv 8$ dir. O halde $x = 12,18,22,28$ olmak üzere $4.3 = 12$ tanedir.

$y = 23,24$ için $x^2 \equiv 5 (mod 10)$ ise $x \equiv 5$ olur. O halde $x=15,25$ olup $2.2=4$ tane sayı vardır.

$y = 25,26$ için $x^2 \equiv 6 (mod 10)$ ise $x \equiv 4$ ve $x \equiv 6$ olur. $x = 14,16,24,26$ olup $4.2 = 8$ sayı vardır.

$y = 27,28$ için $x^2 \equiv 7 (mod 10)$ denkliğinin çözümü yoktur.

$y = 29$ için $x^2 \equiv 8 (mod 10)$ denkliğinin çözümü yoktur.

$y=30,31$ için $x^2 \equiv 9 (mod 10)$ ise $x \equiv 3$ ve $x\equiv 7$ olur. $x = 13,17,23,27$ olup $4.2 = 8$ sayı vardır

Toplamda $25+12+4+8+8=57$ sayı vardır.
« Son Düzenleme: Mayıs 28, 2017, 03:59:45 ös Gönderen: Dogukan6336 »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal