Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 21

[Lokman Gökçe]

$m$ ve $n$ tamsayı olmak üzere $m^2+n^2<10001$ ise, $3m+4n$ nin alabileceği en büyük değer ne olur?

$
\textbf{a)}\ 403
\qquad\textbf{b)}\ 480
\qquad\textbf{c)}\ 490
\qquad\textbf{d)}\ 500
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$m,n$ birer tamsayı olduğundan $m^2 + n^2 \leq 10000$ yazabiliriz. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden $$ (3x + 4y)^2 \leq (3^2+ 4^2)(m^2 + n^2)$$ olup $$ (3x + 4y)^2 \leq 25\cdot 10000 $$ elde edilir. Buradan $3x + 4y \leq 500$ bulunur. Ayrıca $(3x+4y)_{\max}=500$ eşitlik durumuna örnek olarak $m=60, n= 80$ değerleri vardır.

[geo]

Karesel Ortalama $\geq $ Aritmetik Ortalama kullanarak çözelim.

$$\left ( \dfrac{\underbrace {\left ( \dfrac m3 \right )^2 + \dots +\left ( \dfrac m3 \right )^2}_{\text{9 tane}}   + \underbrace {\left ( \dfrac n4 \right )^2 + \dots +\left ( \dfrac n4 \right )^2}_{\text{16 tane}}}{25} \right )^{1/2} \geq \dfrac{\underbrace { \dfrac m3 + \dots + \dfrac m3}_{\text{9 tane}}   + \underbrace { \dfrac n4 + \dots + \dfrac n4}_{\text{16 tane}}}{25}$$
$$\left ( \dfrac{10000}{25} \right )^{1/2} \geq \left ( \dfrac{m^2+n^2}{25} \right )^{1/2} \geq \dfrac{3m+4n}{25} \Longrightarrow 500 \geq 3m+4n$$

Eşitlik durumu için, $\dfrac m3 = \dfrac n4 = k$ ve $3m+4n=500$ olması gerekir.
$3\cdot 3k + 4\cdot 4k = 500\Longrightarrow k=20$, $m=60$, $n=80$ olması gerekir.