Gönderen Konu: Kutupsal koordinatlarda eğri  (Okunma sayısı 1584 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Kutupsal koordinatlarda eğri
« : Nisan 27, 2017, 04:44:40 ös »
Problem (L. Gökçe): Analitik düzlemde grafiği verilen eğrinin kutupsal koordinatlarda denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?


$
\textbf{a)}\ r=\cos(4\theta)
\qquad\textbf{b)}\ r=\cos(2\theta)
\qquad\textbf{c)}\ r=\sin(\theta)
\qquad\textbf{d)}\ r=\sin(2\theta)
\qquad\textbf{e)}\ r=\sin(4\theta)
$
« Son Düzenleme: Ağustos 20, 2017, 10:18:30 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 782
  • Karma: +14/-0
Ynt: Kutupsal koordinatlarda eğri
« Yanıtla #1 : Nisan 28, 2017, 05:41:24 ös »
Yanıt: $\boxed{D}$

Aradığımız kutupsal denklem $r=f(\theta)$ şeklinde olsun. Verilen grafikten $\theta=\pi/2$ için $r=f(\pi/2)=0$ olduğundan yanıt a,b ve c  seçenekleri olamaz. Zira $\theta=\pi/2$ değeri seçeneklerde yerine konursa sırasıyla $r$ değeri için $1,-1$ ve $1$ değerleri bulunur. Şimdi  $\theta=\pi/4$ değerini seçelim. Verilen grafiğe göre bu değer için $r\gt 0$ olmalıdır. Buna göre yanıt d seçeneği, yani  $r=\sin2\theta$ olabilir. Çünkü bu değer için e seçeneğindeki $r=\sin4\theta=0$ olup $r\gt0$ şartını sağlamaz.
« Son Düzenleme: Nisan 29, 2017, 12:14:38 öö Gönderen: scarface »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Kutupsal koordinatlarda eğri
« Yanıtla #2 : Nisan 29, 2017, 12:31:01 öö »
Grafiği önce burada çizdikten sonra soruyu yazdım. Daha sonra bir şey farkettim. $ \pi /2 \leq \theta < \pi $ için $\sin 2\theta <0 $ ve $r<0$ olup $r$ tanımsız oluyor. Çünkü $r,$ analitik düzlemdeki bir noktanın orijine uzaklığını ifade eder ve $ r\geq 0$ olarak tanımlıdır. Ancak grafiğimize göre $\theta = 3\pi/4$ seçilirse $r=1$ olabiliyor fakat $r=\sin 2\theta $ denkleminden $r=-1$ geliyor. Yani bu bakımdan $d$ şıkkı da cevap olmuyor gibi duruyor. Fakat link verdiğimiz wolfram alpha'ya göre cevap tam olarak $r=\sin 2\theta $. Sanırım, $r=\sin 2\theta $, $r= \cos 2\theta $ , ... vs kutupsal denklemlerde $r$ nin negatif gelmesi durumunda mutlak değeri alınıyor.

Not: $r<0$ durumunu burada sordum. Mümkün olduğu ifade edildi. Yani $r=\sin (2 \theta)$ problemimizde bir problem yok.
« Son Düzenleme: Nisan 29, 2017, 02:00:58 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 782
  • Karma: +14/-0
Ynt: Kutupsal koordinatlarda eğri
« Yanıtla #3 : Mayıs 05, 2017, 05:28:52 ös »
$r$  yi "orijine olan uzaklık" olarak değil de "yönlü uzaklık" olarak tanımlarsak sorunumuzu çözeriz. Şöyle bir örnek verelim: Diyelim ki noktamız alışık olduğumuz biçimde $(r,30^{\circ})$ olarak verilsin. Başlangıç ışınımız (burada özel olarak bakış doğrultumuz) $x$ ekseni olmak üzere bu noktaya ulaşmak için bir kaç yol izlenebilir. İlk olarak olduğumuz yerde  $30^{\circ}$ derece dönüp bakış yönümüz doğrultusunda $r$ birim yürüyebiliriz. İkinci olarak $210^{\circ}$ derece dönüp bakış doğrultumuzun ters istikametinde $r$ birim yürüyebiliriz. Üçüncü olarak saatin tersi yönünde $150^{\circ}$ derece dönüp yine bakış yönümüzün ters istikametinde $r$ birim yürüyebiliriz. Buna göre vardığımız noktanın koordinatları $k\in\mathbb{Z}$ olmak üzere sırasıyla $(r,30^{\circ}+k.360^{\circ}),(-r,-150^{\circ}+k.360^{\circ})$ ve $(-r,210^{\circ}+k.360^{\circ})$ şeklinde ifade edilebilir. Burada $-r$ ile hareketin yön değiştirmesi kastedilmektedir. Sonuç olarak kutupsal koordinatlarda bir noktayı tasvir etmenin en az üç (belki başka yollar da vardır) yolu var gözüküyor.
« Son Düzenleme: Mayıs 05, 2017, 05:51:20 ös Gönderen: alpercay »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal