tam kareye tamamlama

[Lokman Gökçe]

Soru: $n^2 +2016n$ ifadesinin tam kare olmasını sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

Çözüm:

$n^2 +2016n=m^2$ olsun. Her iki tarafa $1008^2$ eklersek

$n^2 +2016n + 1008^2=m^2 + 1008^2 \implies (n+1008)^2-m^2=1008^2$.

İki kare farkından $(n-m+1008)(n+m+1008)=1008^2$ dir.

$n-m+1008$ ile $n+m+1008$ aynı pariteye sahiptir. Yani ya her ikisi de çift sayı ya da her ikisi de tek sayıdır.

Çarpımları çift sayı olduğuna göre her ikisi de çift sayıdır.

$n-m+1008=2$ ve $n+m+1008=\dfrac{1008^2}2$ seçilirse $n$ en büyük değerine ulaşır.

Bu denklemlerin toplamından $2n + 2\cdot 1008=2+\dfrac{1008^2}2 \implies n=\dfrac{1008^2}4-1007=503^2$ dir.