Gönderen Konu: simetrik grupta fonksiyon sayısı  (Okunma sayısı 1502 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3010
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
simetrik grupta fonksiyon sayısı
« : Nisan 07, 2017, 07:01:29 ös »
Problem (L. Gökçe): $S_9$ simetrik grubunda uzunluğu $3$ olan üç ayrık devrin çarpımı biçiminde yazılabilen kaç farklı fonksiyon vardır? (Yani $f=(abc)(def)(ghi)$ biçiminde ve $f \in S_9$ olmalıdır.)

$
\textbf{a)}\ 2240
\qquad\textbf{b)}\ 1680
\qquad\textbf{c)}\ 840
\qquad\textbf{d)}\ 560
\qquad\textbf{e)}\ 280
$
« Son Düzenleme: Nisan 08, 2017, 03:11:57 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3010
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: simetrik grupta fonksiyon sayısı
« Yanıtla #1 : Nisan 09, 2017, 10:42:40 ös »
Yanıt: $\boxed{A}$

$S_9$ ile $A=\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ kümesi üzerindeki tüm permütasyon fonksiyonlarının kümesini gösteriyoruz. Bu küme, fonksiyonların bileşke işlemine göre Abelyen olmayan bir gruptur. $f=(abc)(def)(ghi)$ biçimindeki bir permütasyon fonksiyonu için

$a,b,c$ değerlerini $\dbinom{9}{3}$ kombinasyonuyla,
$d,e,f$ değerlerini $\dbinom{6}{3}$ kombinasyonuyla,
$g,h,i$ değerlerini $\dbinom{3}{3}$ kombinasyonuyla

seçebiliriz. Ancak $f=(def)(abc)(ghi)$  ile $f=(abc)(def)(ghi)$ aynı gösterimlerdir. Bu üçlü grupların sıralanışı önemsiz olduğundan $3!$ ile bölmeliyiz. $$ \dfrac{\binom{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3}}{3!} = 280 $$ olur.

Fakat bir $a,b,c$ üçlüsü ile $(abc)$ ve $(acb)$ gibi iki farklı devir yazılabilir. Dolayısıyla her üç devir için $2\cdot 2 \cdot 2 = 2^3$ ile çarparız. Cevap $$280 \cdot 8 = 2240$$ bulunur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal