Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 24

[Lokman Gökçe]

$101,10101,1010101, \dots , \underbrace {10101 \dots 01}_{100 \text{ tane } 1}$ dizisinde kaç tane asal sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 49
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 33
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed C$

Dizide $99$  terim olduğu görülmekte. Dizinin ilk terimi olan $101$  sayısı asal olduğundan yanıt $0$  olamaz. İçinde 3'ün katı adedi 1 olan 2.,5.,8.,...98.terimler 3'e tam bölündüklerinden bu 32 terim asal olamaz. $3$'üncü terim olan $1010101$ sayısının $101$'in katı olduğunu görmek zor değildir, yani üçüncü terim ilk terimin katıdır. Benzer olarak beşinci terim de üçüncü terimin katıdır. 1 ile 100 arasındaki ardışık sayılarla çalışsaydık toplam 25 tane asal sayımız olurdu. Sayılar ve bunların arasındaki mesafeler arttığında asal sayıların dağılım yoğunluğu azaldığından bize verilen bu 99 sayıdan asal gelmesini beklediklerimizin sayısı 25'ten az olmalı. Öyleyse yanıt 33 de olamaz. O halde yanıt 12 veya  1 dir. Yukarıdaki yanıtı Alparslan Ceran'ın "Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık" isimli 1996'lardan kalma kitabındaki cevabına biraz daha yorum katarak yazdım. Kitaba göre yanıt kitabın ifadesiyle açık ve net olarak 12. Ama dizide 101'den başka asal sayı olmayabilir de. Gerçekten de öyle. Bu sayıları 2'lik tabandaki sayılar olarak düşünüp çözümlediğinizde oluşan geometrik kısmi seri toplamından çift numaralı terimlerin 3 ile, tek numaralı terimlerin (101 sayısı dışında)  5 ile bölündüğünü görüyoruz. Dolayısıyla dizi de 101 sayısından başka asal sayı yoktur. 

[Lokman Gökçe]

Analitik sayılar kuramı kesin bir sonuç vermez, şu aralıkta asal olma ihtimali yüksektir vs ... der. 10 yıl kadar önce modüler aritmetik yöntemle güzel bir çözüm yazıp kağıdı buruşturup atmıştım. Terim numarası çift ve tek olanları ayrı ayrı incelediğimi hatırlıyorum. Şimdilik cevap olarak dizide $101$ den başka asal sayı yoktur diyebilirim. Çözümü güzelce yazıp yollarım ...

[Dogukan6336]

Yanıt: $\boxed{C}$

Öncelikle $2n+1$ basamaklı

$101010101\dots 01$

sayısını göz önüne alalım. Bu sayıyı

$101010101\dots 01 = 10^0 + 10^2 + 10^4 + \cdots +10^{2n} = 100^0 + 100^1 + \cdots +100^n$

şeklinde yazabiliriz.

$1+a + a^2 + a^3 +\cdots +a^r = \dfrac {a^{r+1}-1} {a-1}$

olduğunu kullanarak sayımızı

$\dfrac {100^{n+1}-1} {99}= \dfrac {(10^{n+1}-1)(10^{n+1}+1)} {99}=\dfrac {(10^n+\cdots +1)(10^{n+1}+1)} {11}=A $

şeklinde yazabiliriz. Şimdi durumları inceleyelim. Eğer $n$ sayısı çift ise $n+1$ sayısı tek olacaktır ve $10^{n+1}+1$ sayısı $11$ e bölünecektir ve $A$ sayısı hem  tam sayı olacak, hem de asal sayı olamayacaktır. $n$ sayısı tek ise $10^n + \cdots  +1= 111111\dots
 1$ sayısı $11$ e bölünecektir ve asal olamayacaktır. O halde dizide $n=1$ için $101$ den  başka asal sayı yoktur.