Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 11

[Lokman Gökçe]

$x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=y^2$ denkleminin $x,y$ tamsayı olacak şekilde kaç tane $(x,y)$ çözüm takımı vardır?

$
\textbf{a)}\ \text{Sonsuz}
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Verilen denklemi $y^2=3x^2+6x+5$ biçiminde yazalım. Bu ifadeyi $\mod{3}$ 'te incelersek $y^2 \equiv 2 \pmod{3}$ bulunur. Halbuki bir $y$ tamsayısı için $y \equiv 0, 1, -1 \pmod{3}$ olup bu değerlerin karesini alırsak $y^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ elde edilir. Yani $y^2 \not\equiv 2 \pmod{3}$ dir. Dolayısıyla $y^2=3x^2+6x+5$ denkleminin tamsayılarda çözümü yoktur.

[geo]

$x$, $x+1$, $x+2$ sayıları $\bmod 3$ te, $0,1,2$ sayılarının bir permütasyonuna denktir. Bu durumda, $y^2\equiv  0 + 1 +4 \equiv 5 \equiv 2 \pmod 3$ denkliğinin çözümü olmadığı kolayca görülebilir.