Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 08

[Lokman Gökçe]

$$ \begin{array}{lcr}  xz-yt & = & 1 \\   xt+4yz & = & 3  \end{array}$$
denklem çiftinin $x,y,z,t$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere kaç tane $(x,y,z,t)$ çözüm takımı vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

[alpercay]

Yanıt:$\boxed{C}$

$x$  ve  $y$   değişkenlerine göre denklem sistemi çözülürse  $x=\dfrac{4z+3t}{4z^2+t^2}$   ve  $y=\dfrac{3z-t}{4z^2+t^2}$  bulunur.  Negatif olmayan tam sayılarda çalıştığımızdan  aşikar olarak   $3z-t \lt 4z^2+t^2$ olduğundan $y$ nin tam sayı olması için  $3z-t=0$  yani    $y=0$  olmalıdır. Bu durumda   $x=\dfrac{1}{z}$ olacağından $x=z=1$ olmalıdır. Buna karşılık   $t=3$   olması gerektiğinden  denklem sistemini sağlayan tek çözüm takımı  $(1,0,1,3)$  olur.