Kullandığım üçüncü dereceden polinom denklem çözüm yöntemini açıklayarak başlayalım. Her üçüncü dereceden denklemin $$x^3+mx+n=0 \tag{1}$$ biçimine indirgenebileceğini biliyoruz. Problemimizde $m,n$ gerçel sayılardır. $h,k$ daha sonra belirleyeceğimiz gerçel sayılar olmak üzere bu denklemin $$x=\sqrt[3]{h+\sqrt{k}} + \sqrt[3]{h-\sqrt{k}} \tag{2} $$ formunda bir çözümünü arayalım. $a=\sqrt[3]{h+\sqrt{k}}$, $b=\sqrt[3]{h-\sqrt{k}} $ dersek $x=a+b$ olur. Bu eşitliğin küpünü alırsak $x^3=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ ve buradan $x^3 - 3ab\cdot x - a^3 -b^3=0$ olur. Bu denklem düzenlenirse $$ x^3 - 3\sqrt[3]{h^2-k} \cdot x - 2h=0 \tag{3}$$ biçiminde yazılır. $(1)$ ve $(3)$ denklemleri özdeş olmalıdır. Katsayıların eşitliğinden
$$ \left. \begin{array}{lcl}
m & = & - 3\sqrt[3]{h^2-k} \\
n & = & -2h
\end{array} \right\} \tag{4}
$$
denklem sistemi elde edilir. $m,n$ verildiğinde $h,k$ çözülür.
Şimdi $x^3+6x-2=0$ denklemi için $m=6,n=-2$ olup $(4)$ sisteminden hemen $h=1$ bulunur. $6=- 3\sqrt[3]{1^2-k}$ denkleminden $k=9$ elde edilir. Böylece denklemin bir kökü $x=\sqrt[3]{4}+ \sqrt[3]{-2}$ dir. Bu değerden başka denklemin reel kökü yoktur. Zira, $f(x)=x^3+6x-2$ artan bir fonksiyondur, her değeri yalnızca bir kez alır.
Şimdi de $y^3-6x+6=0$ denklemi için $m=-6,n=6$ olup $(4)$ sisteminden $h=-3$ tür. $-6=- 3\sqrt[3]{(-3)^2-k}$ denkleminden $k=1$ bulunur. Bu denklemin tek reel kökü $y=\sqrt[3]{-2}+ \sqrt[3]{-4}$ tür. Sonuç olarak $$x+y=-2\sqrt[3]{2}$$ elde edilir.
Önemli Bir Not:
$(1)$ denkleminin $(2)$ formunda bir kökünü bulduktan sonra diğer kökleri bulmak çok basittir. $\epsilon = \dfrac{-1+i\cdot \sqrt3 }{2}$ sayısı $1$ in karmaşık sayılardaki bir küp kökü olmak üzere diğer kökler
$$ \begin{array}{lcl}
x_2 & = & \epsilon \sqrt[3]{h+\sqrt{k}} + {\epsilon}^2\sqrt[3]{h-\sqrt{k}} \\
x_3 & = & {\epsilon}^2 \sqrt[3]{h+\sqrt{k}} + \epsilon\sqrt[3]{h-\sqrt{k}}
\end{array}
$$
dir. Eğer $k>0$ ise $x_1$ kökü reel sayı olurken $x_2$ ve $x_3$ reel değildir.
