$n!+(n+1)!+(n+2)!+⋯+(n+k)!$ ifadesi her $ k$ pozitif tamsayısı için $49$ ile tam

[MATSEVER 27]

$n,k≥2$ pozitif tamsayılar olmak üzere; 
$$n!+(n+1)!+(n+2)!+⋯+(n+k)!$$
ifadesi her $ k$ pozitif tamsayısı için $49$ ile tam olarak bölünüyor. Buna göre $n$ sabitinin alabileceği en küçük $ 2$ değerin toplamı nedir?

[Metin Can Aydemir]

$k=2$ ve $k=3$ için $49\arrowvert n!+(n+1)!+(n+2)!$ ve $49\arrowvert n!+(n+1)!+(n+2)!+(n+3)!$ olmalı buradan $49\arrowvert (n+3)!$ bulunur. $n+3\geq 14 \Rightarrow n\geq 11$ olmalıdır.
Aynı zamanda $49\arrowvert n!+(n+1)!+(n+2)!=n!(n+2)^2$ olmalı.Eğer $14>n\geq 11$ ise,
$7\|n!\Rightarrow 7\arrowvert (n+2)^2 \Rightarrow 7\arrowvert (n+2)$ olur, Buradan $n=12$ bulunur.$n\geq 14$ ise tüm $n$'lerin sağlayacağı barizdir. Dolayısıyla en küçük iki $n$, $12$ ve $14$'dür.
$14+12=26$