Eşitsizlik {çözüldü}

[LaçinCanAtış]

a,b,c pozitif real sayılar olmak üzere ;
$$\sum \frac{a^2+1}{b+c}\ge 3$$
olduğunu ispatlayınız ve eşitlik durumunu gösteriniz.

[Arman]

$\sum \dfrac{a^2+1}{b+c}=\sum\dfrac{a^2}{b+c}+\sum\dfrac{1}{b+c}$

C-S eşitsizliğinden,

$(\sum\dfrac{a^2}{b+c}+\sum\dfrac{1}{b+c}).(4(a+b+c))\ge(a+b+c+3)^2$

$(\sum\dfrac{a^2}{b+c}+\sum\dfrac{1}{b+c})\ge\dfrac{(a+b+c+3)^2}{4(a+b+c)}$

$a+b+c=x$ dersek,

$\dfrac{(a+b+c+3)^2}{4(a+b+c)}=\dfrac{(x+3)^2}{4.x}=\dfrac{x^2+6.x+9}{4x}$

$=\dfrac{x}{4}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4.x}\ge \dfrac{3}{2}+ 2.\sqrt{\dfrac{x}{4}.\dfrac{9}{4x}}=3$

Eşitlik durumu $x=y=z=1$ iken gerçekleşir.

[Eray]

$\sum_{cyc}\dfrac{a^2+1}{b+c}=K$ olsun.
$x^2+1\ge2x$ olduğu kullanılırsa $K\ge\sum_{cyc}\dfrac{2a}{b+c}=2\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c}$
$\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}$ olduğu Nesbitt Eşitsizliği olarak bilinir.
Dolayısıyla $K\ge2\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge2\cdot\dfrac{3}{2}=3$ $\blacksquare$