Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2014 Soru 4

[Eray]

$x^2+y^2+z^2\le x+y+z$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için,$$\dfrac{x^2+3}{x^3+1}+\dfrac{y^2+3}{y^3+1}+\dfrac{z^2+3}{z^3+1}\ge6$$olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

$A.G.O$ dan $2(x^2-x+1)+\dfrac{x^2+3}{(x+1)(x^2-x+1)} \ge 2\sqrt{\dfrac{2(x^2+3)}{x+1}} \ge  2\sqrt{\dfrac{4(x+1)}{x+1}} =4$ elde edilir. Yani;
$$2x^2-2x+\dfrac{x^2+3}{x^3+1} \ge 2$$
elde edilir. Benzer şekilde yapılıp toplanırsa koşuldan dolayı;
$$\underbrace{2x^2+2y^2+2z^2-2x-2y-2z}_{\le 0}+\dfrac{x^2+3}{x^3+1}+\dfrac{y^2+3}{y^3+1}+\dfrac{z^2+3}{z^3+1} \ge 6$$
olur ve istenen elde edilir. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Farklı bir çözüm verelim. $x^2+3=x^2+1+2\geq 2x+2$ olduğunu kullanarak
$$\sum_{cyc}{\dfrac{x^2+3}{x^3+1}}\geq \sum_{cyc}{\dfrac{2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}}=2\sum_{cyc}{\dfrac{1}{x^2-x+1}}\overbrace{\geq}^{Titu} 2\dfrac{9}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+3}\geq 6$$
elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Türkiye EGMO TST 2014 #4