Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2001 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

Köşeleri $O$ merkezli bir çember üzerinde bulunan bir $ABCD$ yamuğunun, $[AB]$ ve $[CD]$ kenarları paralel olup, $s( \widehat{AOD})=60^{\circ}$ dir. Bu yamuğun yüksekliği $10$ ise, alanı nedir?

[Lokman Gökçe]

Çözüm 1.
Kirişler dörtgeni olan bir $ABCD$ yamuğu ikizkenardır. Merkez açı-çevre açı'dan $m(\widehat{CAB})=m(\widehat{DBA})=\frac12 m(\widehat{AOB})=30^\circ$ dir. Köşegenlerin kesim noktası $E$, $[AB],[CD]$ kenarlarının orta noktası $G,F$ olsun. $FG \perp AB$ dir. $|DF|=\sqrt3 |EF|$ ve $|AG|=\sqrt3 |EG|$ olup $|AB|+|CD|=2\sqrt3 |FG|$ dir. $|FG|=10$ verildiğinden $|AB|+|CD|=20\sqrt3$ olur. $Alan(ABCD)=\dfrac{(|AB|+|CD|)\cdot |FG|}{2}$ bağıntısından $Alan(ABCD)=100\sqrt3$ elde edilir.

Çözüm 2.
$C$ den $AB$ ye inen yükseklik ayağı $H$ olsun. $|CH|=10$ ve $CAH$ dik üçgeninden $|AC|=20$ dir. $ABCD$ yamuğu ikizkenar olduğundan $|BD|=20$ dir. $Alan(ABCD)=\frac12 |AC|\cdot |BD|\cdot \sin 60^\circ$ eşitliğinden $Alan(ABCD)=100\sqrt3$ elde edilir.