Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2005 Soru 2  (Okunma sayısı 1151 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1416
  • Karma: +12/-0
Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2005 Soru 2
« : Temmuz 15, 2016, 06:31:12 ös »
$x^3+y^3=(x+y)^2$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ tam sayı ikililerini bulunuz.

Çevrimiçi scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3080
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2005 Soru 2
« Yanıtla #1 : Kasım 06, 2020, 04:15:04 ös »
Çözüm (Lokman GÖKÇE): İki küp toplamı özdeşliğinden $(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)^2$ yazalım. $x+y=0$ olan tüm ikililer $(x,y)=(x,-x)$ olup buradan sonsuz çoklukta çözüm elde edilir.

Şimdi de $x+y\neq 0$ olan çözümleri bulalım. Denklemi $(x+y)$ ile bölersek $$ x^2-(y+1)x+(y^2-y)=0 \tag{1}$$ denklemi elde edilir. $x$'e göre ikinci dereceden olan bu denklemin tam sayılarda çözümü olması için diskriminantı bir tam sayının karesine eşit olmalıdır. $n\geq 0$ bir tam sayı olmak üzere $\Delta = (y+1)^2-4(y^2-y)=n^2$ yazılır. Düzenlersek $$ n^2 + 3(y-1)^2=4 \tag{2}$$ olur. Buradan $n\in \{0,1,2\}$ dir. Bu durumları $(2)$ de yazarak inceleyelim.

$\bullet$ $n=0$ için $y \not\in \mathbb Z$ dir.

$\bullet$ $n=1$ için $y=0$, $y=2$ dir. Bu değerleri $(1)$ de yazalım. $y=0$ için $x^2-x=0$ olup $x=0$, $x=2$ dir. $x+y\neq 0$ şartı ile $(x,y)=(2,0)$ çözümü bulunur. $y=2$ için $x^2-3x+2=0$ olup $x=1$, $x=2$ dir. $(x,y)=(1,2), (2,2)$ çözümleri bulunur.

$\bullet$ $n=2$ için $y=1$ dir. Bu değeri $(1)$ de yazalım. $x^2-2x=0$ olup $x=0$, $x=2$ dir. $(x,y)=(0,1), (2,1)$ çözümleri bulunur.

Sonuç olarak, $x\in \mathbb Z$ olmak üzere tüm çözümler $(x,-x), (2,0), (1,2), (2,2), (0,1), (2,1)$ olarak elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal