Çözüm (Lokman Gökçe):
$3\times 3$ satranç tahtasının $5$ karesini şekildeki gibi $\times$ sembolü ile işaretleyelim. Her adım sonundaki işaretlenmiş karelerdeki sayıların toplamı $a$, işaretlenmemiş $4$ karedeki sayıların toplamı da $b$ olsun.
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \times & & \times \\ \hline & \times & \\ \hline \times & & \times \\ \hline \end{array} $$
Başlangıç durumunda tüm karelerde $0$ yazdığı için $a=0$, $b=0$ dır. Her hamlede bir işaretlenmiş kare ve bir de işaretlenmemiş kare seçildiğinden toplamların değeri beraberce $1$'er artar ya da $1$'er azalır. Yani hamle yapılmadan önce toplamların değerlerini $(a,b)$ sıralı ikilisiyle gösterirsek hamle yapıldıktan sonra bu değerler ya $(a+1,b+1)$ ya da $(a-1,b-1)$ olur. Böylece $a-b$ farkının bir değişmez (invaryant) olduğunu görürüz. Başlangıçta bu invaryant $a-b=0$ dır. Bir süre sonra tüm karelerde $2$ bulunacak olsaydı $a=2\cdot 5 = 10$, $b=2\cdot 4 = 8$ olup $a-b=10-8=2$ elde edilirdir. Halbuki $a-b$ farkı daima $0$ olmalıydı. Demek ki tüm karelerdeki sayıları $2$ yapmak mümkün değildir.
