Gönderen Konu: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 1  (Okunma sayısı 1478 defa)

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 1
« : Haziran 26, 2016, 04:34:48 ös »
$AB $ $||$ $CD$ ve $AB >CD$ olan bir $ABCD$ teğetler dörtgeninde $ABC$ nin içteğet çemberi $AB$ ve $AC$ ye sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında teğet olduğuna göre $ABCD$ dörtgenin iç merkezinin $MN$ doğrusu üzerinde yer aldığını gösteriniz.
« Son Düzenleme: Haziran 26, 2016, 10:10:54 ös Gönderen: MATSEVER 27 »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı alpha

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 24
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 1
« Yanıtla #1 : Haziran 28, 2016, 10:03:22 ös »
$ABC$ üçgeninin üç teğet çemberinin merkezine $I$ teğetler dörtgenin merkezine $O$ diyelim.


$AXB$ üçgeninde $N$,$O$,$M$ noktaları için menelaus teoreminin doğruluğunu inceleyelim.$OB$ doğrusu ile $AC$nin kesişim noktası $X$ olsun.


$\dfrac{NX}{AN}$.$\dfrac{AM}{BM}$.$\dfrac{OB}{XO}$$=1$ doğruluğuna bakalım. $AM=AN$ olduğundan buradan $\dfrac{OB}{MB}$$=$$\dfrac{XO}{XN}$ gelir.


$COB$ ve $MIB$ üçgenleri için benzerlik yazarsak $\dfrac{OB}{MB}$=$\dfrac{CO}{IM}$=$\dfrac{BC}{IB}$.


Yerine yazarsak $\dfrac{XO}{XN}$=$\dfrac{CO}{IN}$ ifadesi gelir ki bu ifade de $CXO$ ve $XNI$ üçgenlerinin benzerliğinden doğrudur. Buradan menelausun doğruluğu ispatlanır. Ve ispat biter.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal