Eşitsizlik

[ArtOfMathSolving]

$\pi^3>31$ olduğunu gösterin.

[MATSEVER 27]

Hesap makinesi yardımıyla $31.0062766803>31$ elde edilir. Diğer yolunu merak ediyorum.

[ArtOfMathSolving]

soruyu AOPS ta gördüm, hatta soruyu soran da iletinin başlığına "strange one" yazmış. $\pi$ ye yakınsayan bir değer seçip, $22/7,355/113...$ gibi; bunu belirli integralle ifade edebiliriz.$$\int_{0}^{1}\dfrac{x^4(1-x)^8)}{1+x^2}dx=\pi-\dfrac{2419}{770}$$ integrand pozitif olduğu için, ayrıca $\pi\ge\dfrac{2419}{770}$ buradan $\left( \dfrac{2419}{770}\right)^3\ge31$ bulunur. Ayrıca sonuca pek çok integralle de ulaşılıyor.

 Bkz:https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_22/7_exceeds_%CF%80