$\dfrac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} < \dfrac{m!}{m^m}\cdot\dfrac{n!}{n^n}$ ifadesinin

[ArtOfMathSolving]

$m$ ve $n$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $\dfrac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} < \dfrac{m!}{m^m}\cdot\dfrac{n!}{n^n}$ ifadesinin doğruluğunu gösterin. (Putnam 2004/B2)

[AtakanCİCEK]

$$p=\frac{m}{m+n},\qquad q=\frac{n}{m+n}$$
olsun. Bu durumda
$$p,q>0\qquad\text{ve}\qquad p+q=1$$

olduğu için Binom Teoremi'ne göre
$$
1=(p+q)^{m+n}
=\sum_{k=0}^{m+n}\binom{m+n}{k}\,p^{k}\,q^{\,m+n-k}.
$$

Toplamdaki her terim pozitiftir; dolayısıyla özellikle $k=m$ terimi toplamdan küçüktür:
$$
\binom{m+n}{m}\,p^{m}\,q^{n}<1.
$$

Buradan
$$
\binom{m+n}{m}
<\frac{1}{p^{m}q^{n}}
=\frac{(m+n)^{m+n}}{m^{m}n^{n}}
$$
elde edilir.

Her iki tarafı
$$
\frac{m!\,n!}{(m+n)^{m+n}}
$$
ile çarpalım. Sol taraf
$$
\frac{m!\,n!}{(m+n)^{m+n}}\binom{m+n}{m}
=\frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}}
$$
olur; sağ taraf ise
$$
\frac{m!\,n!}{(m+n)^{m+n}}\cdot
\frac{(m+n)^{m+n}}{m^{m}n^{n}}
=\frac{m!}{m^{m}}\cdot\frac{n!}{n^{n}}
$$
verir. Böylece
$$
\frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}}
<
\frac{m!}{m^{m}}\cdot\frac{n!}{n^{n}}
$$
sonucuna ulaşılır.