Gönderen Konu: Putnam 2015/B1  (Okunma sayısı 1099 defa)

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 425
  • Karma: +4/-8
Putnam 2015/B1
« : Haziran 21, 2016, 05:44:17 ös »
$f$ gerçel sayı kümesinde tanımlı $3$ kez türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, $f$ nin en az $5$ tane gerçel kökü olsun. $f+6f+12f''+8f'''$ fonksiyonunun en az iki farklı gerçel kökü olduğunu kanıtlayın.
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 425
  • Karma: +4/-8
Ynt: Putnam 2015/B1
« Yanıtla #1 : Haziran 24, 2016, 04:13:35 ös »
($\textit{Aops}$)

$g(x)=8e^{x/2}f(x)$ olsun. $g'''(x)=e^{x/2}(f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x)).$ olacak. $f$ nin kökleri aynı zamanda $g$ nin de kökleri olacak. $g$ nin $5$ farklı gerçel kökü var. Rolle'nin teoreminden $[a,b]$ aralığında ($a$ ve $b$, $f(a)=f(b)=0$ koşulunu sağlayan sayılar olmak üzere) $f'(x)=0$ eşitliğini sağlayan mutlaka bir $x$ sayısı vardır. Bu yüzen $g'$ün $4$ farklı reel kökü olacak, $g''$ ün $3$ ve $g'''$ ünde tam olarak $2$ farklı gerçel kökü olacaktır. Yani $f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x)$ ifadesinin tam olarak $2$ gerçel kökü vardır.
Sıradan bir matematikçi...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal