Eşitsizlik

[MATSEVER 27]

$x^2+y^2+z^2+xyz=4$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$8(2-xyz)^2 \ge (x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)$$
olduğunu gösteriniz.

(MatSever 27)

[LaçinCanAtış]

$8\left(2-xyz\right)^2=32-32xyz+8x^2y^2z^2$ ve $ \:\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)=x^4z^2+2x^2y^2z^2+x^4y^2+x^2z^4+x^2y^4+y^2z^4+y^4z^2 $ dir.
O halde $8\left(2−xyz\right)^2-\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)=-x^4z^2-x^4y^2-x^2z^4-x^2y^4+6x^2y^2z^2-32xyz-y^2z^4-y^4z^2+32$
dir.İfadede gerekli düzenlemeler yapılırsa ve soruda verilen eşitlikler yazılırsa ispat tamamlanır.Kalan kısım okura bırakılmıştır.

[LaçinCanAtış]

veya $\prod { \left( x^{ 2 }+y^{ 2\:  } \right)  } \le \frac { 1 }{ 4 } \left( 4-xyz \right) ^{ 3 }+\frac { 5 }{ 4 } x^{ 2 }y^{ 2 }z^{ 2 }$ dir.O halde;
$$xyz=\lambda \quad (\lambda \le 1)\Rightarrow 8(2-\lambda )^{ 2 }\ge \frac { 1 }{ 4 } (4-\lambda )^{ 3 }+\frac { 5 }{ 4 } \lambda ^{ 2 }$$
$$\surd \\ $$

[ArtOfMathSolving]

$8\left(2-xyz\right)^2=32-32xyz+8x^2y^2z^2$ ve $ \:\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)=x^4z^2+2x^2y^2z^2+x^4y^2+x^2z^4+x^2y^4+y^2z^4+y^4z^2 $ dir.
O halde $8\left(2−xyz\right)^2-\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)=-x^4z^2-x^4y^2-x^2z^4-x^2y^4+6x^2y^2z^2-32xyz-y^2z^4-y^4z^2+32$
dir.İfadede gerekli düzenlemeler yapılırsa ve soruda verilen eşitlikler yazılırsa ispat tamamlanır.Kalan kısım okura bırakılmıştır.

Okuyucu olarak şansımı deneyeyim,
$32-32 x y z-x^4 (y^2+z^2)-y^2 z^2 (y^2+z^2)-x^2 (y^4-6 y^2 z^2+z^4)\ge 0$ burada önemli olan $xyz\le 1$ olduğunu görmek!

[LaçinCanAtış]

$8\left(2-xyz\right)^2=32-32xyz+8x^2y^2z^2$ ve $ \:\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)=x^4z^2+2x^2y^2z^2+x^4y^2+x^2z^4+x^2y^4+y^2z^4+y^4z^2 $ dir.
O halde $8\left(2−xyz\right)^2-\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)=-x^4z^2-x^4y^2-x^2z^4-x^2y^4+6x^2y^2z^2-32xyz-y^2z^4-y^4z^2+32$
dir.İfadede gerekli düzenlemeler yapılırsa ve soruda verilen eşitlikler yazılırsa ispat tamamlanır.Kalan kısım okura bırakılmıştır.

Okuyucu olarak şansımı deneyeyim,
$32-32 x y z-x^4 (y^2+z^2)-y^2 z^2 (y^2+z^2)-x^2 (y^4-6 y^2 z^2+z^4)\ge 0$ burada önemli olan $xyz\le 1$ olduğunu görmek!

Esasen kendim kontrol etmemiştim,Sağol! 

[ArtOfMathSolving]

Ne de olsa eğleniyoruz, ben teşekkür ederim asıl.