Gönderen Konu: Dikdörtgen  (Okunma sayısı 2108 defa)

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Dikdörtgen
« : Haziran 17, 2016, 11:54:47 ös »
Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $[AB]$ nin orta noktası $E$, $[BC]$ nin orta noktası $F$ olsun. $\lfloor s(\widehat{EDF}) \rfloor$ en az ve en çok kaç derece olabilir?
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı Bozkurt

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 27
  • Karma: +0/-0
Ynt: Dikdörtgen
« Yanıtla #1 : Şubat 26, 2018, 05:33:26 ös »
Genelliği bozmadan $|AB|=2$ kabul edebiliriz. $|BC|=2x$ ve $s(EDF)=β$ olsun. $|DE|$, $|DF|$ ve $|EF|$ uzunlukları $x$'e göre hesaplanıp $DEF$ üçgeninde kosinüs teoremi tatbik edilirse $cosβ=\sqrt{(4x^4+8x^2+4)/(4x^4+17x^2+4)}$ elde edilir. $0<β<90$ olduğu için bu aralıkta $cosβ$ fonksiyonu azalandır. O halde $β$'nın en büyük değeri alması için $cosβ$ ifadesinin en küçük değeri alması lazımdır. Türev marifetiyle görülür ki $cosβ=\sqrt{(4x^4+8x^2+4)/(4x^4+17x^2+4)}$ ifadesi en küçük değerini $x=1$ iken alır. Bu durumda $x=1$ iken $cosβ=4/5$ olur. Yani; $β$'nın en büyük değeri $arccos(4/5)$'tir.

Gelelim $β$'nın alabileceği en küçük değere. $x$'i keyfimize göre seçme serbestîmiz bulunduğuna göre şekil üzerinde bulunacağımız bir sezgi bize der ki $x$'i büyüttükçe $β$ küçülür. Nitekim öyledir de. Zira $cosβ=\sqrt{(4x^4+8x^2+4)/(4x^4+17x^2+4)}$ olup limit kaideleri gereğince $x$ arttıkça $cosβ$ değeri $1$'e yaklaşır ki bu, $β$'nın $0$'a yaklaşacağı manasına gelir. Binaenaleyh, $β$'nın sabit bir en küçük değeri yoktur, istenen küçüklükte her $β$ değeri, söz konusu şekli çizmemizi mümkün kılacaktır.
« Son Düzenleme: Şubat 26, 2018, 05:43:11 ös Gönderen: Bozkurt »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal