Dikdörtgen {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$|BC|>|AC|$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninde $AC$ köşegenin orta dikmesi $BC$ doğrusunu $E$ noktasında $|AE|=5$ olacak şekilde kesiyor. $|AC|$ nin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?

$
\textbf{a)}\  0
\qquad\qquad\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\qquad\qquad\textbf{c)}\  2
\qquad\qquad\qquad\textbf{d)}\  3
\qquad\qquad\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[Bozkurt]

ABCD dikdörtgeninde |BC| > |AC| olamaz 

[Lokman Gökçe]

Soruda harf hatası olarak verilen $|BC|>|AC|$ bilgisi yerine $|BC|>|AB|$ kullanarak çözelim.

Soru: $|BC|>|AB|$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninde $AC$ köşegenin orta dikmesi $BC$ doğrusunu $E$ noktasında $|AE|=5$ olacak şekilde kesiyor. $|AC|$ nin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?



Yanıt: $\boxed{C}$

Çözüm: $E$ noktası $[BC]$ üstündedir. Orta dikme doğrusu, $AEC$ üçgeninde kenarortay ve yükseklik doğrusudur. Dolayısıyla $|AE|=|EC|=5$ tir. $|AC|=x$ diyelim. Üçgen eşitsizliğinden $x<10$ dur. Aynı zamanda $\widehat{AEC}$ geniş açı olduğundan $x^2> 5^2+5^2=50$ dir. $50<x^2<100$ eşitsizliğini sağlayan $x\in \{8,9\}$ tamsayıları vardır.