$p^3-q^3 = 3p(p-1)+4n^3+2m^2+1$ denklemini sağlayan $(p,q)$ asal sayı çifti bulu

[ArtOfMathSolving]

$p^3-q^3 = 3p(p-1)+4n^3+2m^2+1$ denklemini sağlayan $(p,q)$ asal sayı çifti bulunmasını olanaklı kılan, tüm $(m,n)$ negatif olmayan tamsayı çiftlerini bulunuz.

($\text{ArtOfMathSolving}$)

                                                                                                                                                                                                                       

[MATSEVER 27]

Düzenlersek $(p-1)^3-q^3=4n^3+2m^2$  olur. $p,q>2$ için teklik-çiftlikten çelişki. $p$ veya $q$ dan biri $2$ olmalı.

(i.) $p=2$ ise $1-4n^3-2m^2=q^3$ olur. Buradan bariz çelişki.

(ii.) $q=2$ ise $(p-1)^3=4n^3+2m^2+8$ buradan $p>2 \Rightarrow 8 \mid (p-1)^3 \Rightarrow 4 \mid 2m^2 \Rightarrow 2 \mid m \Rightarrow m=2a$

$(p-1)^3=8a^2+8+4n^3$ benzer şekilde $n$ çift, $n=2b \Longrightarrow$ $8(a^2+4b^3+1) \Longrightarrow \left(\dfrac{p-1}{2} \right)^3=a^2+4b^3+1$ buradan $a$ çifttir. $a$ tek olsa $\left(\dfrac{p-1}{2} \right)^3 \equiv 2 \pmod{4}$ ancak çift olan bir sayının küpü çiftse 4 le bölünmelidir. $a$ çifttir. $a=2t$ buradan $\left(\dfrac{p-1}{2} \right)^3=4t^2+4b^3+1$ ve $p=2k+1$ yerine koyalım. $k^3=4t^2+4b^3+1$ ve $k$ tek, $k=2r+1$ devam edersek $8r^3+12r^2+6r+1=4t^2+4b^3+1$ ve $4r^3+6r^2+3r=2t^2+2b^3$ buradan $r$ çift. $r=2z$ ve;

$32z^3+24z^2+6z=2t^2+2b^3$ ve $16z^3+12z^2+3z=t^2+b^3$ ve $p=8z+3$ heyecanla devam ediyoruz. $z(16z^2+12z+3)=t^2+b^3$ işte bunu nasıl çözeriz bilmiyorum. Yarımcı olacak varsa teşekkürler.

[ArtOfMathSolving]

Tebrikler, gayet güzel gitmişsiniz. Burada bir hata yoktur umarım. Benim çözümüm.

Evet $p=2$ için çözüm yok, o halde $q=2$ dir. Düzenlersek, $(p-1)^3-q^3=4n^3+2m^2 \Rightarrow (p-3)(p^2+3)=2(m^2+2n^3)$ Buradan, $p-3\mid 2 \Rightarrow p=2,3,5$ olabilir, benzer şekilde, $p^2+3\mid2$ olabilir, buradan da $p=2$ olabileceği anlaşılır. Diğer durumlarda da aynı çözümler gelir. Şimdi sırasıyla deneyelim,

$p=2,q=2$ ise $-7=4n^3+m^2$ Burada çözüm yok çünkü $m,n$ negatif değil.

$p=3,q=2$ ise $8-8=4n^3+2m^2 \Rightarrow m=n=0$ elde edilir.

Şimdi de $p=5,q=2$ olsun, $28=2n^3+m^2 \Rightarrow \max\{n\}=2, \max\{m\}=5$ tek tek tamsayılar denendiğinde çözüm gelmediği görülür,

Denklemin tek çözümü $p=3,q=2,m=n=0$ dır.

[Eray]

Düzenlersek, $(p-1)^3-q^3=4n^3+2m^2 \Rightarrow (p-3)(p^2+3)=2(m^2+2n^3)$ Buradan, $p-3\mid 2 \Rightarrow p=2,3,5$ olabilir, benzer şekilde, $p^2+3\mid2$ olabilir, buradan da $p=2$ olabileceği anlaşılır. Diğer durumlarda da aynı çözümler gelir.

Bu kısmı ayrıntılı açıklayabilir misiniz? Doğru anladıysam $p-3\mid2$ veya $p^2+3\mid2$ olması gerektiğini söylemişsiniz?

[ArtOfMathSolving]

Ayrıca $p-3 \mid m^2+2n^3$ veya $p^2+3 \mid m^2+2n^3$ te olabilir.Buradan çözüm gelmeyeceğini kastettim.  İncelendiğinde , $p=9, m=2, n=1$, $p=5, m=0,n=1$ gibi çözümler ana denklemde yazıldığında sağlamadığı görülebilir.

$p-3 = m^2+2n^3 \Rightarrow p= m^2+2n^3+3 $ İçin $(m^2+2 n^3+3)^3 = 2 ((m^2+2 n^3+3)^2+m^2+2 n^3+3)$ olması gerekir. Yani $p^3=2(p^2+p) \Rightarrow p^3-2p^2-p=0 $ çözümler $p=0, p=1\pm\sqrt{2}$ ve çözüm yok, benzer şekilde diğer durum için de çözüm gelmediği görülebilir.

Umarım hatam yoktur....

[Eray]

$p-3 = m^2+2n^3 \Rightarrow p= m^2+2n^3+3 $ İçin $(m^2+2 n^3+3)^3 = 2 ((m^2+2 n^3+3)^2+m^2+2 n^3+3)$ olması gerekir.

Neden?

[ArtOfMathSolving]

$p-3 = m^2+2n^3 \Rightarrow p= m^2+2n^3+3 $ İçin $(m^2+2 n^3+3)^3 = 2 ((m^2+2 n^3+3)^2+m^2+2 n^3+3)$ olması gerekir.

Neden?

Ana denklemde $q=2,p=m^2+2n^3+3$ yazdığımızdan dolayı ?

[Eray]

Peki $p-3\mid m^2+2n^3$ olduğunda kalan durumlar? Çünkü yalnızca $p-3=m^2+2n^3$ durumunu incelediniz

[ArtOfMathSolving]

$p-3\mid m^2+2n^3$ olduğu durumu $m^2+2n^3 = k(p-3), k\in \mathbb{Z^{+}}$ şeklinde tanımlayıp kolaylıkla çözüme ulaşıyoruz.

İnceleyelim. $(p-1)^3=2m^2+4n^3+8 \Rightarrow p^3-3 p^2+(3-2 k) p+(6 k-9) = 0$ olur. Buradan $(p-3) (-2 k+p^2+3) = 0$ denkleminden $p=3$ çözümüne ulaşıyoruz.

Ayrıca $p^2-2k+3=0 \Rightarrow k= \dfrac{p^2+3}{2}$ Ana denklemde yerine yazalım, $(p-1)^3=2(p-3)\left( \dfrac{p^2+3}{2}\right)+8 \Rightarrow p^3-3p^2=0$ denkleminden $p=3$ yegane çözümüne ulaşılır.

Yani $p-3\mid m^2+2n^3$ için $p=3$ ten başka çözüm yoktur. $p^2+3\mid m^2+2n^3$ alt durumunu da incelersek benzer sonuca ulaşırız.

Çözümde herhangi bir hata var mıdır Eray bey? Varsa lütfen belirtin eksik kaldığım yeri tamamlayayım. teşekkürler.

[Eray]

Ayrıca $p^2-2k+3=0 \Rightarrow k= \dfrac{p^2+3}{2}$ Ana denklemde yerine yazalım, $(p-1)^3=2(p-3)\left( \dfrac{p^2+3}{2}\right)+8 \Rightarrow p^3-3p^2=0$ denkleminden $p=3$ yegane çözümüne ulaşılır.

Ana denklemde yerine yazınca $0=0$ çıkıyor.

Ana denklemimiz $(p-1)^3-8=2(m^2+2n^3)$ yani $(p-3)(p^2+3)=2(m^2+2n^3)\Longrightarrow (p-3)\left(\dfrac{p^2+3}{2}\right)=m^2+2n^3$. Dolayısıyla zaten $p-3\mid m^2+2n^3$ olması mecburi. Ki bu sonuca ana denklemden ulaşıldığı için elbette tekrar ana denklemde yerine yazılması $0=0$ sonucunu verir.

Ve şahsi düşüncem; $m,n$ pozitif tamsayılarının sonsuz çoklukta değeri için bir asalın $3$ eksiği $m^2+2n^3$ ifadesini bölüyordur. Dolayısıyla doğrudan $p-3\mid n^2+2n^3$ önermesiyle çözümleri kısıtlayamayız.

[ArtOfMathSolving]

Ayrıca $p^2-2k+3=0 \Rightarrow k= \dfrac{p^2+3}{2}$ Ana denklemde yerine yazalım, $(p-1)^3=2(p-3)\left( \dfrac{p^2+3}{2}\right)+8 \Rightarrow p^3-3p^2=0$ denkleminden $p=3$ yegane çözümüne ulaşılır.

Ana denklemde yerine yazınca $0=0$ çıkıyor.

Ana denklemimiz $(p-1)^3-8=2(m^2+2n^3)$ yani $(p-3)(p^2+3)=2(m^2+2n^3)\Longrightarrow (p-3)\left(\dfrac{p^2+3}{2}\right=m^2+2n^3$. Dolayısıyla zaten $p-3\mid m^2+2n^3$ olması mecburi. Ki bu sonuca ana denklemden ulaşıldığı için elbette tekrar ana denklemde yerine yazılması $0=0$ sonucunu verir.

Ve şahsi düşüncem; $m,n$ pozitif tamsayılarının sonsuz çoklukta değeri için bir asalın $3$ eksiği $m^2+2n^3$ ifadesini bölüyordur. Dolayısıyla doğrudan $p-3\mid n^2+2n^3$ önermesiyle çözümleri kısıtlayamayız.

Dediğiniz doğru denklemi düzenlerken hata olmuş.
Açıkçası $p=5,7,13,\dots$ için çözüm gelmiyor veya ben kaçırıyorum, bayağı bir asal için denedim hatta wolframdan $(p-1)^3=2m^2+4n^3+8$ için küçük asalları denedim, tamsayı çözüm bulamıyor. Wolfram bazen bulamayabiliyor belki wolfram da kaçırmış olabilir. Kafam da biraz karıştı açıkçası.

[ArtOfMathSolving]

Ve şahsi düşüncem; $m,n$ pozitif tamsayılarının sonsuz çoklukta değeri için bir asalın $3$ eksiği $m^2+2n^3$ ifadesini bölüyordur. Dolayısıyla doğrudan $p-3\mid n^2+2n^3$ önermesiyle çözümleri kısıtlayamayız.

Yani çözümlerin tekilliğini veya çokluğunu ispatlayamayacağımız anlamına mı geliyor? Bunu mu kastetmek istediniz?

[Eray]

Evet. Soruyu çözmek adına asla bir yarar sağlamayacağı kanaatindeyim

[ArtOfMathSolving]

O halde soruyu şu şekilde değiştirelim, soru üstünde biraz daha düşüneceğim. $p,q$ asal  $m,n$ negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $p^3-q^3 = 3p(p-1)+4n^3+2m^2+1$ denkleminin $p=3,q=2,m=n=0$ dan başka bir çözümünü(varsa) bulun ,yoksa olmadığını ispatlayın.

[ArtOfMathSolving]

$p=11,q=2,m=8,n=6$ bir çözüm. (Aops)