eşitsizlik

[KereMath]

$a<b$ ve $a,b$ pozitif sabit sayılar olmak üzere her $x$ gerçel sayısı için
a³+b³-x³$\le$(a+b-x)³+m
eşitsizliği sağlandığına göre m nin en küçük değeri nedir?

[LaçinCanAtış]

ifadeyi $$x^2-(a+b)x+ab\ge -\frac{M}{3(a+b)};$$ olarak düzenleyebiliriz.
$$x^2-(a+b)x+ab\ge -\frac{M}{3(a+b)};$$
$$\text{min}(LHS)=-\frac{(a-b)^2}{4};$$
$$-\frac{(a-b)^2}{4}\ge -\frac{M}{3(a+b)}\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{4}\leq \frac{M}{3(a+b)} \Leftrightarrow M\ge \frac{3(a+b)(a-b)^2}{4}.\blacksquare $$