Polinom Sorusu-2

[ArtOfMathSolving]

$P(1)=3$ eşitliğini sağlayan $2.$ dereceden tamsayı katsayılı bir $P(x)=x^2+bx+c$ polinomu, her $x,y$ gerçel sayıları için, $P(x)+P\left( \dfrac {1} {y}\right) +\dfrac{3+by}{y^2} = P(2x)+ P\left( \dfrac {2} {y}\right) $ eşitliğini sağlamaktadır. $P(x)$ polinomun alabileceği en küçük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{25}{4}
\qquad{b)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad{c)}\ \dfrac{1}{2}
\qquad{d)}\ \dfrac{11}{4}
\qquad{e)}\ \dfrac{-1}{2}
$
                                                                                                                                                                                                                        $\text{ArtOfMathSolving}$

[Metin Can Aydemir]

Acaba bu soruda $a,b$ rastgele 2 reel sayımı? Yoksa $P(x)=x^2+ax+b$ mi ?

[Metin Can Aydemir]

$x$ yerine $1$ yazarsak $P(1)=3=1+b+c$, buradan $b+c=2$ bulunur.
verilen denklemde $x=y=1$ yazarsak, $2P(1)+(3+b)=2P(2)=8+4b+2c$ bulunur. Bu ifadeyi düzenlersek,
$3b+2c=1$ bulunur. $b+c=2$ olduğunu biliyoruz. Bu iki denklemden $b=-3, c=5$ bulunur. Buradan $P(x)=x^2-3x+5$ bulunur. Bu ifadeyi düzenleyelim,
$x^2-3x+5=(x-\frac{3}{2})^2 +\frac{11}{4}\geq \frac{11}{4} $ Eşitlik durumu $x=\frac{3}{2}$

Fakat şıklarda böyle bir şık yok.

[ArtOfMathSolving]

Evet Çözümünüz doğru Şıkları yazmak zor olduğu için kopyala yapıştır yaparak yazıyorum, sayıları değiştirmeyi unutmuşum, diğer soruda düzelttim bunda fark etmemişim, saolun teşekkürler.