Geometrik Dizi

[Metin Can Aydemir]

$x,y,z,t$ reel sayılar olmak üzere,$$ \dfrac {2x^2-y^2+3xy+5xz+21yz}{x^2-z^2+xy+2xz+10yz} = \dfrac{21z^2-10y^2-x^2+9xy+8xz}{2x^2-y^2+3xy+5xz+21yz} = t $$ ise $t$'nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

$x^2-z^2+xy+2xz+10yz = a$ diyelim. $a=0$ olamaz yoksa ifade tanımsız olur. Buradan $2x^2-y^2+3xy+5xz+21yz = at$ ve $21z^2-10y^2-x^2+9xy+8xz = at^2$ olur. $(21z^2-10y^2-x^2+9xy+8xz)-10(2x^2-y^2+3xy+5xz+21yz)+21(x^2-z^2+xy+2xz+10yz)=at^2 -10at+21a =0$ olur. $a$'ları sadeleştirirsek $(t-3)(t-7)=0$ olur buradan $t=3$ ve $t=7$ bulunur.