I. Aşama Denemesi 2

[MATSEVER 27]

I. Aşama Sınavından 4 gün sonra böyle bir deneme yayımlamak ne kadar doğru bilmiyorum ama, olsun yine de isteyen soruları inceleyebilir. Sorular liseden kolay, ortaokul seviyesinden biraz zor. Moral düzeltmek isteyen çözebilir. Kolay gelsin...

[Furkan_Ç]

Elinize sağlık hocam, denemenin cevap anahtarı bulunuyor mu?

[idensu]

yanıtları verirseniz karşılaştırma yapabileceğiz. En azından ne zaman yanıtları vereceğinizi söylerseniz sevinirim.

[Lokman Gökçe]

Merhaba İbrahim hocam,

Talebinize yanıt gelmeyebilir, bilemiyorum. Güçlü bir yapay zekaya soruları vererek cevap anahtarı çıkarabilirsiniz.

[AtakanCİCEK]

Sayı Teorisi sorularına ($2,6,10,14,18,22,26,30$) yaptığım çözümleri ekledim.


2) Cevap:Hiçbiri   Varsayalım ki ardışık $3$ sayımız $x-1$  $x$  $x+1$ olsun. Bu durumda $(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+1=3x^2+3$ elde ederiz. İfadeyi çarpanlarına ayırdığımızda $3.(x^2+1)$ elde ederiz. $x=1$ için  $2$ asal çarpanının seçilebileceğini görebiliriz ve daima $3$ asal çarpanının da bulunduğu görülebilir.  $x^2+1$ ifadesinin asal çarpanlarının daima $1 \pmod 4$ olması gerektiğinden  ilk $100$ sayı içinde $1 \pmod4$ olan asal sayılar ise $5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97$  olabilir. Toplamda ilk $100$ sayı içinde $11+2 = 13$ asal sayı $S$ kümesinde bulunabilir (Bu soru hazırlanırken $3$ unutulmuş sanırım)



6) Yanıt: C $p \mid (n+2)^2+2$ ve $p \mid (n+3)^3+3$  ifadelerini açarsak $p \mid n^2+4n+6$ ve $p\mid n^3+9n^2+27n+30$ elde edilir. ilk ifadeyi $n$ ile çarpıp $2.$ den çıkartıp daha sonra  kalan $n^2$ terimini yok etmek için tekrar ilk ifadeyi $5$ ile çarpıp son ifadeden çıkartırsak $p \mid (n^3+9n^2+27n+30)-(n+5)(n^2+4n+6)$  yani $p\mid n$ olur. Bu ifadeyi ilk denklemde kullanırsak $p \mid n^2+4n+6-(n)(n+4)$ yani $p\mid 6 $ elde edilir. Bu $2$ asal sayi için de $n=0$ durumu örnek verilebilir.


10)   Cevap:A $n^22^n$ ifadesini düzenleyelim. $$n^22^n=2^{n+1}(n^2-2n+3)-2^n((n-1)^2-2.(n-1)+3)$$ özdeşliği fark edilirse ve  $S(n)=2^{n+1}(n^2-2n+3)$ olarak tanımlarsak alt alta sadeleşmeler yardımıyla $$ \sum_{n=1}^{2015} n^2 2^n = S(2015)-S(0)= 2^{2016}(2015^2-2.2015+3)-6$$ elde edilir. Fermat teoreminden $2^{22} \equiv 1 \pmod {23}$ olduğunu biliyoruz. Periyodun $22$ sayısını bölmesi gerektiğinden $2,11,22$ sayıları periyodumuz olabilir. Denenirse $2^{11}\equiv 1\pmod {23}$ olduğu görülür. $2016$ nın $11$ e bölümünden kalan $3$  olduğu için $2^{2016}\equiv 8 \pmod {11} $ elde edilr ve  $2015 \equiv 14 \pmod {23}$ olduğundan  aradığımız kalan $2^3(14^2-2.14+3)-6 \equiv 8.(171)-6 \pmod {23}$  Buradan ise $8.171-6 \equiv 80-6 \pmod {23}$ ve kalanın $5$ olduğu görülebilir.

14) Cevap: C Bu soruda denklemi $2.$ dereceden tek bilinmeyenli denklem gibi yazıp diskriminant tam kare olmalıdır diyerek çözebiliriz. Bunun yerine denklemi $4$ ile genişletelim ve $m^2$ ve $mn$ terimlerini tamkareye tamamlayarak yok edelim. Bu durumda $$(2m-n)^2=9n^2-92n+232$$ elde edilir. Bu ifadeyi ardışık $2$  tam kare arasına sıkıştırırsak $$(3n-16)^2<9n^2-92n+232<(3n-15)^2$$ elde edilir. eşitsizlik sınırları çözülürse bu ifadenin iki tam kare arasına sıkıştırılamadığı durumlar $n \in \{4,5,6 \}$  olur. Denenirse sadece $n=6$ için ifade tam kare olur. Bu durumda ise $m^2+23.6=6m+2.6^2+58$ denkleminden $ m^2-6m +8 =0$  olur $m=2$ ve $m=4$  için denklem sağlanır $(2,6)$ ve $(4,6)$  şeklinde denklemin $2$  çözümü vardır.

18) Cevap: E $301=7.43$  olduğundan ifadeyi $2$ farklı mod altında inceleyip en son birleştirebiliriz. $\pmod 7$  altında $23$ ve $24$ sayıları sırasıyla $2$ ve $3$ kalanlarına sahiptir ve fermat teoremi gereği $2^6\equiv 1 \pmod 7$ ve $3^6 \equiv 1 \pmod 7$ sağlanır. Bu nedenle bize verilen ifadenin $\pmod 7$ altında kalanı $2+3=5$  olur. $23$ ve $24$  $43$ ile aralarında asal olduğundan fermat teoremi gereği $7^4$  ün $42$ ile bölümünden kalanı incelemek yeterlidir. $7^4=2401\equiv 7 \pmod { 42}$  olur. Geri kalan sayıları $(23^2)^3.23+(24^2)^3.24\equiv 12 \pmod {43}$ olarak bulunur. Buradan $301$ e bölümünden kalanın da $12$  olacağı görülebilir.

22) Yanıt:A Toplama $S$ diyelim. Bu ifadede dikkatimizi çekmesi gereken şey ifadelerin $\pmod p$  analizine oldukça uygun şekilde verilmiş olmasıdır. Bu nedenle $C(p,n)=1$  durumu hariç $C(p,n)\equiv 0 \pmod p$ ve Wilson teoremi'nden $(p-1)!\equiv -1 \pmod p$  olduğunu kullanırsak  $S \equiv -1 \pmod p$ elde edilir. $7,19,23,31$  değerlerinin hepsi $3 \pmod 4$ tipi asal olduğu için $-1$  bu sayılarda kare kalan olamaz. Bu nedenle  $n=0$  ve $n=p$ sınır durumları hariç $S$ tamkare olamaz. 
       a) $n=0$ olsun. Bu durumda $1+(p-1)!=x^2$ olacak şekilde bir $x$ tam sayısı bulunmalıdır. Wilson Teoreminden ifadenin sol tarafının $0 \pmod p$  olduğu görülebilir. $p|x$  ise $p^2|x^2$ olacağından dolayı $1+(p-1)!\equiv 0 \pmod {p^2}$ olmalıdır. Ancak bize verilen asal sayılar bu durumu sağlamadığından buradan çözüm gelmez. ($n!+1=m^2$ denklemi Brocard denklemi olarak bilinir ve genel çözümü henüz ispatlanamamıştır.)
        b) $n=p$  olsun. Bu durumda $$1+p^3+(p-1)!=x^2$$  olacak şekilde $x$ tam sayısı bulunmalıdır. Benzer şekilde ifade $p$ ile bölünebilir olduğundan $p^2$  ile de bölünebilmelidir. Bu da bize $1+p^3+(p-1)!\equiv  1+(p-1)! \pmod {p^2}$ verir ki bu denkliğin bize verilen asal sayılar için çözümsüz olduğunu yukarıda incelemiştik.
         Dolayısıyla cevap $0$ olur.

26) Cevap: D Bu ifadenin tamkare olması için ve $p_1$ $p_2$ $p_3$ asal sayı olması gerektiğinden dolayı $p_1p_2p_3=2015=5.13.31$ olmalıdır. Bu durumda $$23p_1p_4p_5+2015k=2015p_1$$ elde edilir. $p_1\in {5,13,31}$  olduğunu da kullanırsak $p_4p_5=\dfrac{2015(p_1-k)}{23p_1}$ elde edilir. Buradan $23|p_1-k$ olduğu görülebilir. Ayrıca ifadenin sadece iki ayrı asal sayının çarpımı olarak yazılabilmesi için $p_1-k=23$ seçmemiz gerektiğini görebiliriz. Buradan $p_1=31$ seçmemiz gerektiği ve bu durumda $k=8$ olmalıdır ve bu durumda $p_4p_5=5.13$   olduğundan uygun $p_i$ değerleri minimum $k=8$  için bulunabilir. (zaten $k=8$  den başka bir değeri alması mümkün değildir.)



30)   Cevap : B Bu soruda $S(n)$ $n$ sayısının rakamları toplamı olmak üzere $\pmod 9$  altında $n \equiv S(n) \pmod 9$  özdeşliği kullanılabilir. (Sayının $10$ luk tabanda basamak açılımı yardımıyla kolayca gösterilebilir.)  $2012^{2015}\equiv 2  \pmod 9$  olduğu görülebilir ve bu $\pmod 9$ da kare kalan değildir. Dolayısıyla rakamlar toplamı adımı kullanılması gerekir. Rakamları toplamı seçeneği kullanıldığı sürece elde edilen sayıların kare kalanı daima $2 \pmod 9$  olacağından hiçbir zaman karekök alma adımı uygulanamaz. Ve bu işlemler sonucunda en son tahtada $2$ kalacağı görülebilir ve bu nedenle ifademiz tahtada yazılan $1,2,3,4,5$ sayılarından sadece $2$ sayısını alabilir.

[AtakanCİCEK]

Analiz ve Cebir sorularına yaptığım çözümleri de paylaşayım. ($3,7,11,15,19,23,27,31$)

3) Yanıt: E Bu soruyu tam onlarak anlamadım. Şekerler bir çocuğa yalnızca mavi alacak şekilde dağıtıldığında ($n$ adet mavi vardı) diğer çocukta $n$  daha fazla şeker bulunduğuna göre $n+2n=3n$  toplam şeker sayısı olmalıdır. Diğer taraftan $23+m+n$ de toplam şeker sayısı olduğuna göre $2n-23=m$  elde edilir.  Dolayısıyla buradaki şekerler $3$  çocuğa dağıtıldığında $m-23=2n-46$ şeker gelmeyecek şekilde dağıtıldığında (Bu ifadenin mantıklı olması gerekiyorsa $n \geq 23$  olmalı ki bu durumda $n=23$ seçip  $69$ toplam şekeri $23,23,23$ şeklinde dağıtırsak  kimse $0$  şeker almamış olur.)  Beyaz şeker sayısı $2n-23$  olduğundan en az $1$ beyaz şeker bulunmaldıdır. Varsayalım ki $2n-23=1$ olsun. Bu durumda $n=12$ olur ve  toplamda oluşan $23+1+12$  adet şeker $3$  çocuğa $12+12+12$ şeklinde dağıtılabilir ve minimum $36$  olur. Sorunun kastetmek istediği kimsenin herhangi bir renkten $m-23$ veya daha fazla şeker bulunmasın ise  bir çocuk mevcut renkten en fazla $m-24$ adet şeker alabilir. Bu durumda kırmızı şeker için bunu uygularsak en fazla  $3.(m-24)$  kırmızı şeker bulunabilir. $3.(m-24)\geq 23$ yani  $3m \geq 95$  $m\geq 32$ olur. Aynı zamanda Beyaz şekerler için de aynı koşulu yazarsak $m \leq 3.(m-24)$ sağlanmalıdır. Buradan $m\geq 36$  elde edilir. Bu da bize $m$ tek sayı olması gerektiğinden minimum $m=37$ $n=30$  yani toplamda minimum $90$  şeker bulunması gerektiğini gösterir.




7) Cevap: D toplamda $r+1$ adet çocuk bulunsun. Bu durumda toplam dağıtılan şeker sayısı $n$ ve $r$ cinsinden $n+(n+1)+(n+2)+...+(n+r)$  olur. Bu ifadeyi $(r+1).n+\dfrac{r.(r+1)}{2}=2323$ şeklinde yazarsak  $$(2n+r).(r+1)=4646$$ elde edilir. $4646=2.23.101$  olduğu için $r+1 \in \{1,2,23,46,101,202,2323,4646\}$ olmalıdır. Buradan tüm olası değerleri denersek $r+1=2$  için  $n=1161$  ,  $r+1=23$ için $n=90$  ve $r+1=46$  için $n=28$  olduğu bulunur. Δ


11) Yanıt: D Bu soruda Berk bir miktar şeker yediği için kalan şeker sayısına $X$ dersek $X<2015$ oluyor.  Geriye kalan toplam şeker sayısı adımların sayısı sırasıyla $A,B,C \geq 1$ olmak üzere $A+5B+23C=X$ ve benzer şekilde $A',B',C' \geq 1$ $A'+5B'+23C'=X$ sağlanır. Ve soruda verilen bilgi yardımıyla $A+B+C=A'+B'+C'$  olduğundan yola çıkarsak $4ΔB+22ΔC=0$ olmalıdır. Buradan minimum değer için $ΔB=-11$  , $ΔC=2$  seçimi yapmamız gerektiği görülebilir. (zıt işaretlileri de seçilebilir aynı sonuca gider.) Bu da bize $ΔA=9$ verir.  $A=1$ ve $C=1$ minimum seçmemiz için gerekli olduğundan  ve  $B'=1$ olması  minimum seçim için gerektiğinden dolayı $(A,B,C)=(1,12,1)$  ve $(A',B',C')=(10,1,3)$  olur. Bu durumda $X=1+5.12+23=84$  olur.  Berk'in yediği miktar ise maksimum $2015-84=1931$ olur.



15) Yanıt: B polinomda Bu polinom daima $P(X)\geq 0$ koşulunu sağladığı için ve başkatsayısı pozitif olduğundan $A(x-x_0)^2$  formatında yazılabilmelidir. $A=3$  olduğundan ve denklemin bir kökü $x_0=1$ olduğuna göre  polinomumuz  $3(x-1)^2=3x^2-6x+3$ olur.  Bize $R(x)$ için verilen ifadeyi $P(X)$  $Q(x)$ arasında verilen eşitlik yardımıyla $$R(x)=P^2(x)+P(x)-2=(P(x)+2)(P(x)-1)$$  olarak yazılabilir. buradan $R(x)=(3x^2-6x+5)(3x^2-6x+2)$ olur. İlk çarpanın diskriminantı negatif olduğundan dolayı gerçel kökü bulunmaz. Bu nedenle $R(x)$ in gerçel kökleri toplamı $-(-6)/3=2$ olarak bulunur.


19 Yanıt:B Soruda reel sayı şartı olmadığına dikkat edelim. Öncelikle $x^3-x+1=y^3-y+1$ den yola çıkarak $(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)$ ve $x,y$ farklı olduğundan dolayı $x^2+xy+y^2=1$  olmalıdır. Bizden istenen ifade $x^2y+xy^2$ olduğu için ve bu ifade tamküp açılımından geldiği için tamküp açılımını göz önüne alabiliriz. $$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$ olur ve bize verilen eşiltlik yardımıyla $$(x+y)^3=3.xy(x+y)+x+y-2$$ olarak yazılabilir Diğer taraftan $$(x+y)^3=(x+y)^2(x+y)=(x^2+2xy+y^2)(x+y)=(1+xy)(x+y)$$  olduğundan $$x+y+xy(x+y)=3xy(x+y)+x+y-2$$  elde edilir. Buradan sadeleştirmeler yapılırsa $$xy(x+y)=1$$  olur.


23) Yanıt: E İfadeyi $$K=a+b+9+\dfrac{8a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{b}$$ olarak yeniden yazdığımızda ifadeye $AO \geq GO$ eşitsizliği uygulanabileceğini görebiliriz. $$K=(a+\dfrac{b}{a}+\dfrac{8}{b})+(b+\dfrac{8a}{b}+\dfrac{8}{a})+9$$ şeklinde yeniden yazıp $AO \geq GO$ uygularsak $K\geq 3.2+3.4+9=27$ olduğunu görebiliriz. $a=2$ $b=4$  durumu her iki eşitsizliğinde eşitlik şartı olduğu için ve yerine koyduğumuzda sağladığı için $K=27$  değerinin alınabileceğini ve $K=25$  in mümkün olmadığını görebiliriz. $K>27$ değerleri için $a=2$ kısmını sabitleyip $K$ yı tekrar yazdığımızda ifadenin $b>4$  için daima artan olduğu gösterilebilir ve bu durumda diğer $K$  değerlerinin hepsinin alınması mümkün olur.


27) Yanıt : E İfadeyi $10$  ile çarpıp tam kareye tamamlamaları uyguladığımızda $$2.(5p-2)^2+5.(2q-1)^2+17=0$$. Tamkareler negatif olamayacağı için  bu eşitlik sağlanamaz.

31) Yanıt : E Bu soruda klasik pisagor parametrizasyonunu göz önüne alabiliriz ($a^2+b^2=c^2$ denkleminin genel çözümü $(m,n)=1$ olmak üzere $k.(m^2-n^2),k.2mn,k.(m^2+n^2)$) Buradan $$a+b+c=k.(2m^2+2mn)=2014=2.19.53$$ yani $$k.(m^2+mn)=k.m.(m+n)=19.53$$ elde edilir. Burada $m.n$ negatif olamayacağı için genelliği bozmadan $m$  ve $n$ yi pozitif alabiliriz (denklemin $a=k.(m^2-n^2)$ ve $b= k.(2mn)$ çözümlerini göz önüne alırsak)  $k$ yı da pozitif alalım.  $m^2-n^2>0$  olduğundan dolayı $m>n$ olmalıdır. $m,n$ genel çözümden kaynaklı zıt paritede olmalıdır. Bu koşulların hepsini sağlayan ve $km(m+n)=19.53$ denklemini sağlayan üçlü bulunmadığı için uygun bir üçgen yoktur.   

Not: Parametrizasyonlar için  https://geomania.org/forum/index.php?topic=9594.0  linkine bakılabilir.

[AtakanCİCEK]

20) Cevap : D   Bu soruya ayrı başlık açmak istedim. Tartıya  $A$ ve $B$ şeklinde iki ağırlık koyduğumuzda gelebilecek sonuçlar $A<B$, $A=B$  ve $A>B$  olacak şekilde 3 adettir. Dolayısıyla başlangıçta $$3^7>\dfrac{9!}{3!3!3!}>3^6$$ olduğundan en az $7$  adımda kesin ayrım yapılabileceğini görüyoruz ancak bu $7$ adımda ayrımın mümkün olduğu anlamına gelmiyor. Öncelikle toplarımıza $T_1,T_2,... T_9$ diyelim.  Bu soruda  kefelerin sağına ve soluna sırasıyla $1.$ tartı  $1:1$ (sağda ve solda $1$ er top  - $ 2.$ tartı $1:1$   koyduğumuzda  ilk tartım sonucunda $1<2$  sonucunu elde edersek ($T_1=T_2$ sonucu hesaplanırsa daha az olasılığa neden olduğu için kritik değil )  ve Ağırlıklara sırasıyla $H,N,A$  dersek $H,N$  $H,A$ $N,A$ şeklinde yaptığımız seçimler sonucunda faktöriyel ile yaptığımız hesap $\dfrac{7!}{2!2!3!}$ ve diğer hesapladığımız sonuç değerleri ise $3^6$  oluyorç Yani burada da ayrımı garantilemek için  en az $6$ adım daha gerektiğini görebiliyoruz.
$2.$ tartım sonucunda $T_3<T_4 $  sonucunu aldığımızda ise geriye $3.30+6.20=240$ ve kalan adım sayısı $3^5=243$ olduğundan en az $5$ adım daha gerektiğini gösteriyor.  ($(1,2)$  ve $(3,4)$  ün birbiriyle özdeş olduğu ve ayrı olduğu durumlar ayrı şekilde hesaplanarak bulunuyor)


$3.$ tartım sonucunda $1:1$ şekilde tartarsak buradan elimizde $93$ olasılık kalıyor. ancak $3^4=81$ olduğundan artık en az $4$ adımda bitirmenin mümkün olmadığını ve en az $5$  adım gerektiğini görüyoruz. Bu da bize en az toplamda $3+5=8$  adım gerektiğini gösteriyor.

$3.$ tartım sonucunda $2:2$ şekilde seçip tartımları ayırırsak geriye en kötü olasılık seçimimizde $90$ olasılık kalıyor. Yine aynı sebepten dolayı artık en az $4$ adımda bitirmek mümkün olmuyor ve $3+5=8$ adım gerekiyor.

  Not: buradan sonra artık $3^5$  ve  $90$ ve $93$  sayıları arasındaki fark çok büyüdüğü için $8$ adımda tamamlanmasının garanti olduğu tahmin edilebilir. Ama kesin çözüm için örnek verilmesi gerekiyor.


Buradan yola çıkarsak daha iyi ilk $3$  tartım seçim stratejisi olmadığını varsayarsak (farklı bir seçim yapmakta mantık bulamadım çünkü olasılıkları daha çok azaltmıyorlar) en az $8$ adım gerektiğini ispatlamış oluyoruz.  $8$ için örnek verirsek ispat biter.

Bu seçim stratejisini uygulamak yerine uygulaması daha kolay olduğunu düşündüğüm başka seçim stratejisi örnek verebiliriz.

İlk başta $4$ adet $1:1$  tartım seçelim. $T_1,T_2,T_3,T_4,T_5,T_6,T_7,T_8$  olsunlar.

a) Varsayalım ki bu $4$ ölçüm birbirinden farklı olsun.  Bu durumda Python kodu yardımıyla yaptığım dağıtımı ekleyeceğim   

$T_1+T_3 > T_5+T_7$ ve $T_1+T_3 <T_5 +T_7$  simetrik olduğundan birini incelememiz yeterli. Aşağıda kalan $4$ tartım işlemini python koduna yaptırdım ve hangi topun hangi kategori olduğunu bulmasını sağladım. (Örneği elle vermek çok zor olduğu için)

Tart: $T_1+T_3$ : $T_5+T_7$

< :
  Tart: $T_2$ : $T_4$
  < :
    Tart: $T_2$ : $T_9$
    < :
      Tart: $T_1$ : $T_5$
      <  -> hnhanahna
      =  -> hnhahnnaa
    = :
      Tart: $T_1$ : $T_5$
      <  -> hnhanahan
      =  -> hnhahanan
    >  -> hnhananah

  = :
    Tart: $T_2$ : $T_6$
    < :
      Tart: $T_1$ : $T_5$
      <  -> hnhnnahaa
      =  -> hnhnhanaa
    =  -> hahanahnn
    >  -> hahahnnan

  > :
    Tart: $T_4$ : $T_9$
    < :
      Tart: $T_1$ : $T_5$
      <  -> hahnnahna
      =  -> hahnhnnaa
    = :
      Tart: $T_1$ : $T_5$
      <  -> hahnnahan
      =  -> hahnhanan
    >  -> hahnnanah


= :
  Tart: $T_1+T_2$ : $T_4+T_5$
  < :
    Tart: $T_1+T_2$ : $T_3+T_7$
    <  -> hnnahanah
    =  -> hnnanahah
    >  -> hananahnh

  = :
    Tart: $T_1$ : $T_3$
    <  -> hanahnnah
    >  -> nahanahnh

  > :
    Tart: $T_1+T_5$ : $T_3+T_4$
    <  -> nahahnnah
    =  -> nahnhanah
    >  -> nahnnahah


> :
  Tart: $T_6$ : $T_8$
  < :
    Tart: $T_1$ : $T_3$
    < :
      Tart: $T_2$ : $T_3$
      =  -> hnnahnhaa
      >  -> hanahnhan
    =  -> nanahnhah
    > :
      Tart: $T_1$ : $T_4$
      <  -> nahahnhan
      =  -> nahnhnhaa

  = :
    Tart: $T_2$ : $T_4$
    <  -> hnnahahan
    = :
      Tart: $T_1$ : $T_3$
      <  -> hanahnhna
      >  -> nahahnhna
    >  -> nahnhahan

  > :
    Tart: $T_1$ : $T_3$
    < :
      Tart: $T_2$ : $T_3$
      =  -> hnnahahna
      >  -> hanahahnn
    =  -> nanahahnh
    > :
      Tart: $T_1$ : $T_4$
      <  -> nahahahnn
      =  -> nahnhahna


B) [ /b] $3$ ü farklı $1$  i aynı durumu $T_1<T_2$ , $T_3<T_4$ ,$T_5<T_6$ ,$T_7=T_8$ 

         Tart: 1+2 : 3+6

< :
  Tart: 3 : 9
  < :
    Tart: 2 : 7
    <  -> hnhnhaaan
    =  -> hnhahanna
    >  -> hnnanahha

  = :
    Tart: 1 : 3
    <  -> hananahhn
    =  -> hnhnnaaah

  > :
    Tart: 2 : 3
    =  -> hnnahnaah
    >  -> hanahannh


= :
  Tart: 7 : 9
  < :
    Tart: 1 : 5
    =  -> hahnhanna
    >  -> nanahahhn

  = :
    Tart: 1+2 : 7+8
    < :
      Tart: 2 : 7
      <  -> hnhnhnaaa
      >  -> hahahannn
    =  -> hahahannn
    > :
      Tart: 1 : 7
      <  -> hahahannn
      >  -> nananahhh

  > :
    Tart: 1 : 5
    <  -> hahanannh
    =  -> hnhahnaan


> :
  Tart: 6 : 9
  < :
    Tart: 1 : 5
    =  -> hahahnnna
    >  -> nanahnhha

  = :
    Tart: 1 : 3
    =  -> hahnhnaan
    >  -> nahnnahha

  > :
    Tart: 1 : 7
    <  -> nahnhnaah
    =  -> nahahannh
    >  -> nahanahhn
 



c) $2$ farklı $2$ aynı ise  $T_1<T_2$ , $T_3<T_4$  , $T_5=T_6$ , $T_7=T_8$  olur. Bu durumda

       Tart: 1 : 3

< :
  Tart: 3 : 5
  <  -> hnnaaahhn
  =  -> hanannhha
  > :
    Tart: 2 : 3
    =  -> hnnahhaan
    >  -> hanahhnna


= :
  Tart: 2 : 5
  <  -> hnhaaannh
  = :
    Tart: 2 : 4
    <  -> hnhannaah
    >  -> hahnaannh
  >  -> hahnnnaah


> :
  Tart: 1 : 5
  <  -> nahnaahhn
  =  -> nahannhha
  > :
    Tart: 1 : 4
    <  -> nahahhnna
    =  -> nahnhhaan




d) $1$ Farklı $3$ eşit çift olması durumunda yani $T_1<T_2$  , $T_3=T_4$ , $T_5=T_6$  $T_7=T_8$

       Tart: 3 : 9

< :
  Tart: 2 : 5
  < :
    Tart: 1 : 3
    <  -> hnnnaahha
    =  -> hnhhaanna

  = :
    Tart: 2 : 7
    <  -> hnhhnnaaa
    >  -> hahhaannn

  > :
    Tart: 1 : 3
    <  -> hnnnhhaaa
    =  -> hahhnnaan


= :
  Tart: 1 : 5
  < :
    Tart: 1+2 : 3+4
    < :
      Tart: 2 : 3
      <  -> hnaannhha
      >  -> hannaahhn
    =  -> hannaahhn
    > :
      Tart: 1 : 3
      <  -> hannaahhn
      >  -> nahhaannh

  = :
    Tart: 1+2 : 3+4
    < :
      Tart: 2 : 3
      <  -> hnaahhnna
      >  -> hannhhaan
    =  -> hannhhaan
    > :
      Tart: 1 : 3
      <  -> hannhhaan
      >  -> nahhnnaah

  > :
    Tart: 1 : 3
    <  -> naaahhnnh
    =  -> nannhhaah


> :
  Tart: 1 : 5
  < :
    Tart: 1 : 3
    <  -> haaannhhn
    =  -> nannaahhh

  = :
    Tart: 1 : 7
    <  -> haaahhnnn
    >  -> naaannhhh

  > :
    Tart: 1 : 3
    <  -> naaahhnnh
    =  -> nannhhaah



Şeklinde hepsi $8$ adım içinde ayırt edilebilir.

[AtakanCİCEK]

Kombinatorik sorularından yaptığım çözümleri de paylaşayım. ($4,8,12,16,24,28,32$ , $20$ yi ayrı ekledim)

$4)$ Yanıt: A Sırasıyla  hamsi türlerinin sayılarına $a$  ve $b$  diyelim. Bu durumda $a+b=n$  ve aynı renk seçme olasılığımız
 $$
P(\text{aynı renk})
=
\dfrac{a}{n}\cdot\dfrac{a-1}{n-1}
+
\dfrac{b}{n}\cdot\dfrac{b-1}{n-1} = \dfrac{1}{2}
$$  olur. Buradan $$2a(a-1)+2b(b-1)=(a+b)(a+b-1)$$ $$2a^2-2a+2b^2-2b=a^2+2ab+b^2-a-b$$ $$a^2-2ab+b^2=a+b=n=(a-b)^2$$ olur. Buradan $n$ tamkare olması gerektiğini elde ederiz. $n=25$ olabileceği tek değer olur ve buna örnek verebiliriz.


$\text{8)}$  Yanıt: A    Burada değeri $1$ olan bilyeye $X$  diyelim. Aslı $X+a+b$ ve $X+c+d+e$ şeklinde $2$ adet seçim yapsın ve varsayalım ki aslı $x\geq 2$  seçtiğini varsaysın. Bu durumda geriye kalan bilyelerin toplamı en az $1,3,4,5,6$  değerlerinden dolayı iki durumdaki bilyelerin ağırlıkları toplamı $2x+19\geq 23$ olduğundan dolayı ve  yırtılmama koşulu her seçimin $\leq 11$ olması gerekmesinden dolayı yırtılır ve $x$ daha büyük seçim oldukça yırtılabileceğini göz önüne alırsak aslı yukarıdaki  $2$  seçimimizde torbanın yırtılmadığını gözlemlerse ortak olan bilyenin alabileceği ağırlığın sadece $1$  olabileceğini görür. Tek adımda ise bilye hakkında veri elde edemeyeceği için mümkün değildir Dolayısıyla cevap $2$ olur.



12)   Yanıt:  C   üçgen eşitsizliklerini yazarsak $a\leq 1007$  ve $b \leq 1007$ ile $a+b \geq 1008$ şartlarının sağlanması gerektiğini görürüz. Tüm durum - $a+b\leq 1007$ olan durumlar şeklinde hesaplamamız yeterli olacaktır. 

Bu da bize $$1007^2-\dfrac{1007.1006}{2} =507528 $$    sonucunu verir.


16)    Yanıt: B Soruyu Graf kullanmadan çözelim. Bu grubu $6$ kişilik ve $7$ kişilik olarak $2$  ye bölersek güvercin yuvası ilkesi gereğince seçilen $3$ kişiden  en az $2$ sinin arkadaş olacağını garantilemiş oluruz. $5$ veya daha az olamayacağını ispatlamamız yeterlidir. $X$  kişisi seçelim ve bu kişi en fazla arkadaşı olan kişi olsun. Geriye kalan $12$ kişiden $5$ iyle $X$  arkadaş olsun. Bu durumda geriye kalan $7$  kişiyle $X$  arkadaş değildir. Bu gruptan $Y,Z$ şeklinde iki kişi seçelim. Bu $2$ kişi birbiriyle arkadaş değilse $X,Y,Z$  üçlüsünde kimse birbiriyle arkadaş değildir. Dolayısıyla $Y,Z$ birbiriyle arkadaş olmalıdır. Ancak bu da bize bu $7$ kişinin tamamının birbiriyle arkadaş olduğunu gösterir O halde bu gruptaki kişiler en az $6$  kişiyle arkadaş olmak zorundadır ve bu $X$  in seçimiyle çelişir.


24)       Yanıt: D             Bu soruda dizinin $2015.$ Terimini bulacağız.  $2015+50=2065$  ($+50$ tahmini atlayacağımız tamkare ve tamküp sayısı )  civarı bir sayıya ulaşmasını beklemeliyiz. $45^2=2025$  ve $46^2=2116$  ve $13^3=2197$ ve $12^3=1728$  olduğuna göre  dizimizde atlayacağımız tamkare sayısı $45$  ve tamküp sayısı $12$  olur. İçerme dışarma prensibi gereği bir tamsayının $6.$ derecesi $2$ kez sayıldığı için bu sayıları çıkarmamız gerekir ($1^6,2^6,3^6$)   Dolayısıyla Dizimizin $2015.$ Terimi $$\dfrac{2015-1}{1}+1+45+12-3=2069$$ olur. Bu sayının rakamları toplamı $17$ olur.
   

28)    Yanıt : E  Bu soruda içerme dışarma prensibini kullanabiliriz. Bize yasak olan  dizilimler $12,23,34,45,56$ sayılarının yan yana gelmesi durumlarıdır. $n$  tane yasak çift bulunan permütasyon  sayısına $S(n)$ diyelim.  $$ \text{Tüm durum } - S(1)+S(2)-S(3)+S(4)-S(5)$$

$\text{Tüm durum}=6!=720$

$S(1)$  için $5$ yasak çiftten birini seçip bunların $2$ permütasyonu olduğunu göz önüne kalırsak ve ve toplamda $4+1$ bloğu sıralarsak $S(1)=C(5,1).2!.(5)!=1200$

$S(2)$ için ise $2$ tane $(12)$ $(23)$ gibi çiftler yan yana denk gelirse $(123)$ ve $(321)$  şeklinde $2$ şekilde dizilebilirler. Ardışık ikili ise $4$  farklı seçilebildiğinden ve toplamda $4$ adet bloğun permütasyon sayısını bulmamız gerektiğinden $4.2.4!$ olur. Eğer bu $2$ liyi $(12)$ $(45)$ gibi ayrık seçersek  toplamda $6$ farklı seçim yapabiliriz. Bu durumda  $6.2.2.4!$ toplam seçim sayısı elde ederiz. $S(2)=4.2.4!+6.4.4!=768$ olur.

$S(3)$ için ise $3$ bitişik çift seçilirse $3$ seçim yapılabilir ($(1234)$ gibi ). Bu bitişik çift $2$ şekilde sıralanabildiği için toplam permütasyon sayısı $3.2.(2+1)!$ olur.
$2$ si bitişik $1$ ayrı çift seçersek $(123)$  $(45)$ gibi toplamda $6$ seçim yapılabilir. Bunlar kendi aralarında $2.2=4$ şekilde sıralanabilirler. Dolayısıyla toplam permütasyon sayısı $6.4.(1+2)!$  olur.

$3$ ü de ayrık olursa tek şekilde seçim mümkün olur $(12)(34)(56)$ gibi . Bu çiftler kendi aralarında $2.2.2=8$ şekilde sıralanabilir.  $8.3!$ olur. Hepsini toplarsak $S(3)=228$  olarak bulunur.

$S(4)$ için $(123)$ $(456)$, $(12)(3456)$, $(1234)(56)$ gibi $2$  ayrı grup ile $(12345)$ veya $(23456)$  tek grup seçimleri yapılabilir. İlk durumda $1.2.2.(1+1)!$ seçim oluşur. $2.$  durumdaki seçimlerde $3.2.2.2!$ seçim oluşabilir. $2.$ durumda ise $2.2.2!$  seçim mümkündür. $S(4)=24+8=32$ olur.

$S(5)$ için ise $(123456)$ veya $(654321)$ şeklinde $2$ durum oluşabilir. $S(5)=2$ 

O halde istediğimiz $720-1200+768-228+32-2=90$ olarak bulunur.




32)    Yanıt:  D Bu soru Catalan Teoremi sorusudur. Başlangıçtaki istenen yöndeki (pozitif) adım sayısı $h$ , dizilecek toplam adım sayısı $n$ , kalan istenen (pozitif) adım sayısı $u$  olmak üzere  toplam yol sayısı $C(n,u)-C(n,u+h+1)$ ile hesaplanabilir. Buradan $C(7,2)-C(7,6)=21-7=14$  olarak bulunur.

Alternatif olarak sayılar küçük olduğu için formülü kullanmadan da hesaplayabiliriz.

i) üst üste $4$ kötülük ile başlayan durumlar istenmeyen durumlardır. $iiikkkkxyz$ ifadesinde $xyz$ kısmı $iik$ ,$iki$ ve $kii$ şeklinde $3$ şekilde dizilebilir.

ii) $5$ kötülük arasına $1$ tane iyi karışan durumlar da istenmeyen durumlardır. $ikkkkki$ $kikkkki$ $kkikkki$ $kkkikki$ şeklinde oluşabilir. (diğer durumları yukarıda saymıştık.)

Toplam istenmeyen durum sayısı $4+3=7$  olur.   Tüm durum ise $C(7,2)=21$  olduğundan $21-7=14$  olarak bulunur.

[AtakanCİCEK]

Geometri sorularına yaptığım çözümleri de ekledim. ($1,5,9,13,17,21,25,29$)


1) Yanıt: A    $\mid AB \mid =a$ , $\mid BC \mid =b$, $\mid CD \mid =c$, $\mid DA \mid = d$ , $\mid AC \mid =p $ ve $\mid BD \mid = q$ olsun. Soruda bize verilenler $a+c=15$, $b+d=\sqrt{43}$ , $p+q=12$  ve çembersellik yardımıyla Ptolemy Teoremi'ni uygularsak $ac+bd=pq$  elde edilir. $|AC|$  nin orta noktası $M$ ve $|BD|$ nin orta noktası $N$  olsun. Bu durumda bizdenin istenen uzunluk $\mid MN \mid$  olur. Bu uzunluk ise Euler dörtgen teoremi ile bulunabilir.

$$4 \mid MN \mid ^2= a^2+b^2+c^2+d^2-p^2-q^2=(a+c)^2-2ac+(b+d)^2-2bd-(p+q)^2+2pq=(a+c)^2+(b+d)^2-(p+q)^2-2pq+2pq=15^2+43-144=124$$ yani $\mid MN \mid = \sqrt{31}$ olarak bulunur.



5)      Yanıt: C       


 $13-14-15$ üçgeninde Heron Formülü ile alan hesaplanırsa $S=84$ olarak bulunabilir. ($S=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}$) Aynı zamanda $S=u.r$  formülünü kullanırsak $84=21r$ den $\mid IP \mid = r=4$  olur. Ayrıca $S=\mid AH \mid .14/2=84$  den $\mid AH \mid =12$ elde edilir. $ABH$ üçgeninde Pisagor Teoremi'nden $\mid BH \mid = 5$ olur. $\mid BI \mid$  doğru parçasını çizersek ve bu doğru parçasının açıortay olduğunu göz önüne alırsak $\dfrac{13+x}{\mid IM \mid}=\dfrac{5}{\mid HI\mid}$. $\mid HP\mid = u-b-5=21-15-5=1$ olur.  $M$ den $BC$  ye dik çizdiğimizdeki kesişim noktası $Q$ olsun. $\text{HPI}$ ile $\text{HQM}$ üçgenlerinin benzer olduğu görülebilir. Bu benzerlik yardımıyla $\mid HQ \mid =x$ ve $\mid MQ\mid =4x$ diyelim. $\text{ABG}$  ve $\text{MBQ}$ da benzerdir. Buradan $\mid BQ \mid= 5+x$ olduğundan yardım alırsak $5.4x=12.(5+x)$ ve $x=\dfrac{15}{2}$ elde edilir. $\mid BQ \mid = \dfrac{25}{2}$  olduğundan  $\mid MA \mid = \dfrac{65}{2}$ olur. Buradan da istenen cevabı $\dfrac{39}{2}$ olarak bulabiliriz.


9) Yanıt: D     Varsayalım ki $\mid AK \mid =x$  olsun. Bu durumda açıortay teoreminden $\mid DF \mid =3a$ ve $\mid FC \mid =(x+1) a$  olacak şekilde $a$ sayısı vardır. Menelaus Teoreminden $$\dfrac{3}{3+3}\dfrac{x}{1}\dfrac{(x+1)a}{3a}=1$$ ve buradan $x=2$  olur. $ACD$ ikizkenar üçgendir. Diğer taraftan açıortay teoremi yardımıyla $\dfrac{\mid BE \mid }{\mid  EC \mid}=2$ olduğunu not edelim. Bunu kullanarak tekrardan menelaus teoremi uygularsak $$\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{2}\dfrac{\mid AF \mid }{\mid FE \mid}=1$$ olur. Buradan $\mid FE \mid = y$ dersek $\mid AF \mid =3y$  olur ve soruda verilen orantı yardımıyla $\mid FC \mid =3y$  elde edilir. AFC üçgeninde pisagordan $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ olur ve $\mid AE \mid =2 \sqrt{2}$ olur. AEC üçgeninde $AE$  uzunluğu için Stewart Teoremi yazıp hesaplarsak $\mid BC \mid = 3 \sqrt{5}$ yani $\angle BAC =90^\circ$ bulunur. Buradan $S=9$ olduğu kolayca görülebilir.



13) Yanıt : C


Bu soruda $\mid DC \mid = \mid BE \mid $ ve $\angle EBA = 90^\circ$ olacak şekilde bir $\text{E}$ noktası alalım. Bu durumda  EB ile  CD doğrularının paralel olduğu görülebilir ve dolayısıyla $\text{EBDC}$ bir paralelkenar oluşturur. köşegenlerin kesişim noktası paralelkenar özelliğinden dolayı $N$ noktası olmalıdır. DMN ve DAE üçgenlerindeki benzerlik yardımıyla $|MN|=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ olur.



17) Yanıt: D Öncelikle trigonometrik bağıntıları not edelim. $\mid AI \mid = 4 R \sin{B/2} \sin{C/2}$ ve $\mid BI \mid = 4R \sin{A/2} \sin{C/2}$ ve  $\mid AB \mid = 2R \sin{A}$ ve $\mid AC \mid= 2R \sin{B}$    $$\dfrac{\mid AI \mid }{\mid BI \mid}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sin{B/2}}{\sin{A/2}}$$ .  Diğer taraftan $\mid AB \mid \mid AC \mid = 4R^2 \sin{B} \sin{A}=16R^2 \sin{A/2} \sin{B/2} \cos{A/2} \cos{B/2}$ ifadesinde $\mid AI \mid $ yerine koyarsak $7=4R \cos{B/2} \cos{C/2}$ geliyor. Buradan $\dfrac{3}{7}=\tan{B/2} \tan{C/2}$ elde edilir. Şimdi  $$\dfrac{\mid AI \mid }{\mid BI \mid}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sin{B/2}}{\sin{A/2}}=\dfrac{\sin{B/2}}{\cos{(\frac{B+C}{2})}}$$ 

$\tan{B/2}=x$  ve $ \tan{C/2}=y$ olsun. Bu durumda $xy=3/7$ ve $$\dfrac{x\sqrt{1+y^2}}{1-\frac{3}{7}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $x=\dfrac{3}{7y}$  yazıp ifadeyi düzenlersek $y=\sqrt{3}$  yani bizdenen istenen açı $60^\circ$  olur.
 

21) Yanıt : D       

$[CA$ ışını üzerinde $\mid EB \mid = \mid BC \mid $  olacak şekilde bir $E$ noktası alalım. $\angle{CEB}=20$ olur. Ayrıca EAB üçgeninin ikizkenar olduğu görülebilir. $\mid EA \mid = \mid AB \mid $ ve  $\angle{DAE}=110^\circ = \angle{DAB}$ olduğunu görürsek DAE ve DAB üçenlerinin eş kenar-açı-kenar eşliğine sahip olduğunu görebiliriz. $\mid DE \mid = \mid DB \mid $ elde edilir. $[EC]$ ye DC doğrusu açıortay olacak şekilde eşkenar üçgen yerleştirirsek ve bu köşeye $F$  dersek  Kenar-Açı-Kenar eşliği yardımıyla $\mid DE \mid = \mid DF \mid $ elde edilir. $EBC$ ikizkenar ve $ECF$  eşkenar üçgen olduğu için $BF$ doğrusu $EC$  nin orta dikmesidir ve aynı zamanda $\angle EBC$ ve $\angle CFE$ nin açıortayıdır. Ayrıca $\mid DE \mid = \mid DF \mid = \mid DB \mid $ olduğundan $D$ noktası $EBF$  nin çevrel çemberinin merkezidir. $\angle{EFB}=30$ olduğundan dolayı çevre açı merkez açı mantığı yardımıyla $\angle{EDB}=60$ ve $EDB$ üçgeninin eşkenar olduğunu elde ederiz. Buradan kenar eşitliklerini takip edersek $\mid DB \mid = \mid BC \mid $ olduğuna  ulaşırız ve $\angle{CBD}=80^\circ$  elde ederiz.



25)   Yanıt :  A    $DEF$ bir ortik üçgendir ve bu üçgenin iç teğet çemberi yarıçapı ile dış teğet çember yarıçapları sırasıyla $r$ ve $R$ olsun. Heron Formülü ve diğer alan formülleri yardımıyla $$\text{A(DEF)}=84=21r=13.14.15/4R$$ yani $r=4$ ve $R=65/8$ olarak bulunur. Ortik üçgen yardımıyla ana üçgenin ana formülü arasındaki $$\text{A(DEF)}=\dfrac{\text{A(ABC)}.r}{2R}$$ formülünü kullanırsak $\text{A(ABC)}=\dfrac{1365}{4}$ elde edilir. $1365+4=1369$ olur.


29) Yanıt: E        $\mid BC\mid = a $  , $\mid AC \mid =b $  ve $ \mid AB \mid = c$ olsun. $\mid AD \mid =\dfrac{bc}{a+c}$ olur. $ABD$ üçgeninde $I$  noktasına göre açıortay teoreminde $$\dfrac{\mid BI \mid }{\mid ID \mid}=\dfrac{c}{\frac{bc}{a+c}}=\dfrac{a+c}{b}$$ olur. Benzer şekilde $\dfrac{\mid IC \mid }{ \mid IE \mid }= \dfrac{a+c}{b}$  ve $p=\mid IB \mid $  ve $q = \mid IC \mid $ olsun. ve bu iki kenar arasındaki açı $\theta$ ve $|IY|=L$ olsun. Küçük üçgenlerde ve büyük üçgende alan formüllerini yazarsak  $1/2pq \sin{\theta}=1/2L(p+q)\sin{\theta /2}$  yani $$L= \dfrac{2pq \cos{\theta/2}}{p+q}$$ elde edilir.   Bu formülü sorumuzda uygularsak

\[
\mid IY \mid=\frac{2\cdot \mid IB\mid \cdot \mid IC\mid \cos\frac{\theta}{2}}{\mid IB\mid+\mid IC\mid}.
\]

\[
\mid IX \mid =\frac{2\cdot \mid ID\mid \cdot \mid IE\mid \cos\frac{\theta}{2}}{\mid ID\mid+\mid IE\mid}.
\]

ve buradan
\[
\frac{\mid IX \mid }{\mid IY \mid}
=
\frac{\mid ID\mid\cdot \mid IE\mid}{\mid ID\mid+\mid IE\mid}
\cdot
\frac{\mid IB\mid+\mid IC\mid}{\mid IB\mid\cdot \mid IC\mid}.
\] elde ederiz. $\mid IB \mid =m$ $ \mid IC \mid = n$ dersek

\[
\frac{\mid IX\mid}{\mid IY\mid}
=
\frac{
\frac{b}{a+c}\cdot \frac{c}{a+b}(m+n)
}{
\frac{b}{a+c}m+\frac{c}{a+b}n
}.
\]
 İç merkezden dolayı
\[
m:n=\mid IB\mid:\mid IC\mid
=
\frac{r}{\sin\frac{B}{2}}:\frac{r}{\sin\frac{C}{2}}
=
\sin\frac{C}{2}:\sin\frac{B}{2}.
\]
Bu nedenle formülde
\[
m=\sin\frac{C}{2},\qquad n=\sin\frac{B}{2}
\]
alabiliriz. Böylece
\[
\begin{aligned}
\frac{\mid IX\mid}{\mid IY\mid}
&=
\frac{
\frac{b}{a+c}\cdot \frac{c}{a+b}
\left(\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}\right)
}{
\frac{b}{a+c}\sin\frac{C}{2}
+
\frac{c}{a+b}\sin\frac{B}{2}
} \\[2mm]
&=
\frac{
\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}
}{
\sin\frac{C}{2}\cdot \frac{a+b}{c}
+
\sin\frac{B}{2}\cdot \frac{a+c}{b}
}.
\end{aligned}
\]

Sinüs teoreminden
\[
\sin\frac{C}{2}\cdot \frac{a+b}{c}
=
\sin\frac{C}{2}\cdot \frac{\sin A+\sin B}{\sin C}
=
\cos\frac{A-B}{2},
\]
ve benzer şekilde
\[
\sin\frac{B}{2}\cdot \frac{a+c}{b}
=
\cos\frac{A-C}{2}.
\]

Dolayısıyla ana denklem
\[
\begin{aligned}
\frac{\mid IX\mid}{\mid IY\mid}
&=
\frac{
\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}
}{
\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A-C}{2}
} \\[2mm]
&=
\frac{
2\sin\frac{B+C}{4}\cos\frac{B-C}{4}
}{
2\cos\frac{2A-B-C}{4}\cos\frac{B-C}{4}
} \\[2mm]
&=
\frac{\sin t}{\sin 3t},
\qquad
t=\frac{180^\circ-A}{4}.
\end{aligned}
\]

Verilen koşuldan
\[
\frac{\mid IX\mid}{\mid IY\mid}=\frac12
\]
olduğu için
\[
\frac{\sin t}{\sin 3t}=\frac12.
\]
Buradan
\[
2\sin t=\sin 3t=3\sin t-4\sin^3 t.
\]
Dolayısıyla
\[
\sin t(1-4\sin^2 t)=0.
\]
 $(0<t<45^\circ) $ olduğundan $\sin t\neq 0$, bu yüzden
\[
\sin t=\frac12.
\]
$t=30$ ve $A=60^\circ$  elde edilir.