I. Aşama Denemesi 2

[MATSEVER 27]

I. Aşama Sınavından 4 gün sonra böyle bir deneme yayımlamak ne kadar doğru bilmiyorum ama, olsun yine de isteyen soruları inceleyebilir. Sorular liseden kolay, ortaokul seviyesinden biraz zor. Moral düzeltmek isteyen çözebilir. Kolay gelsin...

[Furkan_Ç]

Elinize sağlık hocam, denemenin cevap anahtarı bulunuyor mu?

[idensu]

yanıtları verirseniz karşılaştırma yapabileceğiz. En azından ne zaman yanıtları vereceğinizi söylerseniz sevinirim.

[Lokman Gökçe]

Merhaba İbrahim hocam,

Talebinize yanıt gelmeyebilir, bilemiyorum. Güçlü bir yapay zekaya soruları vererek cevap anahtarı çıkarabilirsiniz.

[AtakanCİCEK]

Sayı Teorisi sorularına ($2,6,10,14,18,22,26,30$) yaptığım çözümleri ekledim.


2) Cevap:Hiçbiri   Varsayalım ki ardışık $3$ sayımız $x-1$  $x$  $x+1$ olsun. Bu durumda $(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+1=3x^2+3$ elde ederiz. İfadeyi çarpanlarına ayırdığımızda $3.(x^2+1)$ elde ederiz. $x=1$ için  $2$ asal çarpanının seçilebileceğini görebiliriz ve daima $3$ asal çarpanının da bulunduğu görülebilir.  $x^2+1$ ifadesinin asal çarpanlarının daima $1 \pmod 4$ olması gerektiğinden  ilk $100$ sayı içinde $1 \pmod4$ olan asal sayılar ise $5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97$  olabilir. Toplamda ilk $100$ sayı içinde $11+2 = 13$ asal sayı $S$ kümesinde bulunabilir (Bu soru hazırlanırken $3$ unutulmuş sanırım)



6) Yanıt: C $p \mid (n+2)^2+2$ ve $p \mid (n+3)^3+3$  ifadelerini açarsak $p \mid n^2+4n+6$ ve $p\mid n^3+9n^2+27n+30$ elde edilir. ilk ifadeyi $n$ ile çarpıp $2.$ den çıkartıp daha sonra  kalan $n^2$ terimini yok etmek için tekrar ilk ifadeyi $5$ ile çarpıp son ifadeden çıkartırsak $p \mid (n^3+9n^2+27n+30)-(n+5)(n^2+4n+6)$  yani $p\mid n$ olur. Bu ifadeyi ilk denklemde kullanırsak $p \mid n^2+4n+6-(n)(n+4)$ yani $p\mid 6 $ elde edilir. Bu $2$ asal sayi için de $n=0$ durumu örnek verilebilir.


10)   Cevap:A $n^22^n$ ifadesini düzenleyelim. $$n^22^n=2^{n+1}(n^2-2n+3)-2^n((n-1)^2-2.(n-1)+3)$$ özdeşliği fark edilirse ve  $S(n)=2^{n+1}(n^2-2n+3)$ olarak tanımlarsak alt alta sadeleşmeler yardımıyla $$ \sum_{n=1}^{2015} n^2 2^n = S(2015)-S(0)= 2^{2016}(2015^2-2.2015+3)-6$$ elde edilir. Fermat teoreminden $2^{22} \equiv 1 \pmod {23}$ olduğunu biliyoruz. Periyodun $22$ sayısını bölmesi gerektiğinden $2,11,22$ sayıları periyodumuz olabilir. Denenirse $2^{11}\equiv 1\pmod {23}$ olduğu görülür. $2016$ nın $11$ e bölümünden kalan $3$  olduğu için $2^{2016}\equiv 8 \pmod {11} $ elde edilr ve  $2015 \equiv 14 \pmod {23}$ olduğundan  aradığımız kalan $2^3(14^2-2.14+3)-6 \equiv 8.(171)-6 \pmod {23}$  Buradan ise $8.171-6 \equiv 80-6 \pmod {23}$ ve kalanın $5$ olduğu görülebilir.

14) Cevap: C Bu soruda denklemi $2.$ dereceden tek bilinmeyenli denklem gibi yazıp diskriminant tam kare olmalıdır diyerek çözebiliriz. Bunun yerine denklemi $4$ ile genişletelim ve $m^2$ ve $mn$ terimlerini tamkareye tamamlayarak yok edelim. Bu durumda $$(2m-n)^2=9n^2-92n+232$$ elde edilir. Bu ifadeyi ardışık $2$  tam kare arasına sıkıştırırsak $$(3n-16)^2<9n^2-92n+232<(3n-15)^2$$ elde edilir. eşitsizlik sınırları çözülürse bu ifadenin iki tam kare arasına sıkıştırılamadığı durumlar $n \in \{4,5,6 \}$  olur. Denenirse sadece $n=6$ için ifade tam kare olur. Bu durumda ise $m^2+23.6=6m+2.6^2+58$ denkleminden $ m^2-6m +8 =0$  olur $m=2$ ve $m=4$  için denklem sağlanır $(2,6)$ ve $(4,6)$  şeklinde denklemin $2$  çözümü vardır.

18) Cevap: E $301=7.43$  olduğundan ifadeyi $2$ farklı mod altında inceleyip en son birleştirebiliriz. $\pmod 7$  altında $23$ ve $24$ sayıları sırasıyla $2$ ve $3$ kalanlarına sahiptir ve fermat teoremi gereği $2^6\equiv 1 \pmod 7$ ve $3^6 \equiv 1 \pmod 7$ sağlanır. Bu nedenle bize verilen ifadenin $\pmod 7$ altında kalanı $2+3=5$  olur. $23$ ve $24$  $43$ ile aralarında asal olduğundan fermat teoremi gereği $7^4$  ün $42$ ile bölümünden kalanı incelemek yeterlidir. $7^4=2401\equiv 7 \pmod { 42}$  olur. Geri kalan sayıları $(23^2)^3.23+(24^2)^3.24\equiv 12 \pmod {43}$ olarak bulunur. Buradan $301$ e bölümünden kalanın da $12$  olacağı görülebilir.

22) Yanıt:A Toplama $S$ diyelim. Bu ifadede dikkatimizi çekmesi gereken şey ifadelerin $\pmod p$  analizine oldukça uygun şekilde verilmiş olmasıdır. Bu nedenle $C(p,n)=1$  durumu hariç $C(p,n)\equiv 0 \pmod p$ ve Wilson teoremi'nden $(p-1)!\equiv -1 \pmod p$  olduğunu kullanırsak  $S \equiv -1 \pmod p$ elde edilir. $7,19,23,31$  değerlerinin hepsi $3 \pmod 4$ tipi asal olduğu için $-1$  bu sayılarda kare kalan olamaz. Bu nedenle  $n=0$  ve $n=p$ sınır durumları hariç $S$ tamkare olamaz. 
       a) $n=0$ olsun. Bu durumda $1+(p-1)!=x^2$ olacak şekilde bir $x$ tam sayısı bulunmalıdır. Wilson Teoreminden ifadenin sol tarafının $0 \pmod p$  olduğu görülebilir. $p|x$  ise $p^2|x^2$ olacağından dolayı $1+(p-1)!\equiv 0 \pmod {p^2}$ olmalıdır. Ancak bize verilen asal sayılar bu durumu sağlamadığından buradan çözüm gelmez. ($n!+1=m^2$ denklemi Brocard denklemi olarak bilinir ve genel çözümü henüz ispatlanamamıştır.)
        b) $n=p$  olsun. Bu durumda $$1+p^3+(p-1)!=x^2$$  olacak şekilde $x$ tam sayısı bulunmalıdır. Benzer şekilde ifade $p$ ile bölünebilir olduğundan $p^2$  ile de bölünebilmelidir. Bu da bize $1+p^3+(p-1)!\equiv  1+(p-1)! \pmod {p^2}$ verir ki bu denkliğin bize verilen asal sayılar için çözümsüz olduğunu yukarıda incelemiştik.
         Dolayısıyla cevap $0$ olur.

26) Cevap: D Bu ifadenin tamkare olması için ve $p_1$ $p_2$ $p_3$ asal sayı olması gerektiğinden dolayı $p_1p_2p_3=2015=5.13.31$ olmalıdır. Bu durumda $$23p_1p_4p_5+2015k=2015p_1$$ elde edilir. $p_1\in {5,13,31}$  olduğunu da kullanırsak $p_4p_5=\dfrac{2015(p_1-k)}{23p_1}$ elde edilir. Buradan $23|p_1-k$ olduğu görülebilir. Ayrıca ifadenin sadece iki ayrı asal sayının çarpımı olarak yazılabilmesi için $p_1-k=23$ seçmemiz gerektiğini görebiliriz. Buradan $p_1=31$ seçmemiz gerektiği ve bu durumda $k=8$ olmalıdır ve bu durumda $p_4p_5=5.13$   olduğundan uygun $p_i$ değerleri minimum $k=8$  için bulunabilir. (zaten $k=8$  den başka bir değeri alması mümkün değildir.)



30)   Cevap : B Bu soruda $S(n)$ $n$ sayısının rakamları toplamı olmak üzere $\pmod 9$  altında $n \equiv S(n) \pmod 9$  özdeşliği kullanılabilir. (Sayının $10$ luk tabanda basamak açılımı yardımıyla kolayca gösterilebilir.)  $2012^{2015}\equiv 2  \pmod 9$  olduğu görülebilir ve bu $\pmod 9$ da kare kalan değildir. Dolayısıyla rakamlar toplamı adımı kullanılması gerekir. Rakamları toplamı seçeneği kullanıldığı sürece elde edilen sayıların kare kalanı daima $2 \pmod 9$  olacağından hiçbir zaman karekök alma adımı uygulanamaz. Ve bu işlemler sonucunda en son tahtada $2$ kalacağı görülebilir ve bu nedenle ifademiz tahtada yazılan $1,2,3,4,5$ sayılarından sadece $2$ sayısını alabilir.

[AtakanCİCEK]

Analiz ve Cebir sorularına yaptığım çözümleri de paylaşayım. ($3,7,11,15,19,23,27,31$)

3) Yanıt: E Bu soruyu tam onlarak anlamadım. Şekerler bir çocuğa yalnızca mavi alacak şekilde dağıtıldığında ($n$ adet mavi vardı) diğer çocukta $n$  daha fazla şeker bulunduğuna göre $n+2n=3n$  toplam şeker sayısı olmalıdır. Diğer taraftan $23+m+n$ de toplam şeker sayısı olduğuna göre $2n-23=m$  elde edilir.  Dolayısıyla buradaki şekerler $3$  çocuğa dağıtıldığında $m-23=2n-46$ şeker gelmeyecek şekilde dağıtıldığında (Bu ifadenin mantıklı olması gerekiyorsa $n \geq 23$  olmalı ki bu durumda $n=23$ seçip  $69$ toplam şekeri $23,23,23$ şeklinde dağıtırsak  kimse $0$  şeker almamış olur.)  Beyaz şeker sayısı $2n-23$  olduğundan en az $1$ beyaz şeker bulunmaldıdır. Varsayalım ki $2n-23=1$ olsun. Bu durumda $n=12$ olur ve  toplamda oluşan $23+1+12$  adet şeker $3$  çocuğa $12+12+12$ şeklinde dağıtılabilir ve minimum $36$  olur. Sorunun kastetmek istediği kimsenin herhangi bir renkten $m-23$ veya daha fazla şeker bulunmasın ise  bir çocuk mevcut renkten en fazla $m-24$ adet şeker alabilir. Bu durumda kırmızı şeker için bunu uygularsak en fazla  $3.(m-24)$  kırmızı şeker bulunabilir. $3.(m-24)\geq 23$ yani  $3m \geq 95$  $m\geq 32$ olur. Aynı zamanda Beyaz şekerler için de aynı koşulu yazarsak $m \leq 3.(m-24)$ sağlanmalıdır. Buradan $m\geq 36$  elde edilir. Bu da bize $m$ tek sayı olması gerektiğinden minimum $m=37$ $n=30$  yani toplamda minimum $90$  şeker bulunması gerektiğini gösterir.




7) Cevap: D toplamda $r+1$ adet çocuk bulunsun. Bu durumda toplam dağıtılan şeker sayısı $n$ ve $r$ cinsinden $n+(n+1)+(n+2)+...+(n+r)$  olur. Bu ifadeyi $(r+1).n+\dfrac{r.(r+1)}{2}=2323$ şeklinde yazarsak  $$(2n+r).(r+1)=4646$$ elde edilir. $4646=2.23.101$  olduğu için $r+1 \in \{1,2,23,46,101,202,2323,4646\}$ olmalıdır. Buradan tüm olası değerleri denersek $r+1=2$  için  $n=1161$  ,  $r+1=23$ için $n=90$  ve $r+1=46$  için $n=28$  olduğu bulunur. Δ


11) Yanıt: D Bu soruda Berk bir miktar şeker yediği için kalan şeker sayısına $X$ dersek $X<2015$ oluyor.  Geriye kalan toplam şeker sayısı adımların sayısı sırasıyla $A,B,C \geq 1$ olmak üzere $A+5B+23C=X$ ve benzer şekilde $A',B',C' \geq 1$ $A'+5B'+23C'=X$ sağlanır. Ve soruda verilen bilgi yardımıyla $A+B+C=A'+B'+C'$  olduğundan yola çıkarsak $4ΔB+22ΔC=0$ olmalıdır. Buradan minimum değer için $ΔB=-11$  , $ΔC=2$  seçimi yapmamız gerektiği görülebilir. (zıt işaretlileri de seçilebilir aynı sonuca gider.) Bu da bize $ΔA=9$ verir.  $A=1$ ve $C=1$ minimum seçmemiz için gerekli olduğundan  ve  $B'=1$ olması  minimum seçim için gerektiğinden dolayı $(A,B,C)=(1,12,1)$  ve $(A',B',C')=(10,1,3)$  olur. Bu durumda $X=1+5.12+23=84$  olur.  Berk'in yediği miktar ise maksimum $2015-84=1931$ olur.



15) Yanıt: B polinomda Bu polinom daima $P(X)\geq 0$ koşulunu sağladığı için ve başkatsayısı pozitif olduğundan $A(x-x_0)^2$  formatında yazılabilmelidir. $A=3$  olduğundan ve denklemin bir kökü $x_0=1$ olduğuna göre  polinomumuz  $3(x-1)^2=3x^2-6x+3$ olur.  Bize $R(x)$ için verilen ifadeyi $P(X)$  $Q(x)$ arasında verilen eşitlik yardımıyla $$R(x)=P^2(x)+P(x)-2=(P(x)+2)(P(x)-1)$$  olarak yazılabilir. buradan $R(x)=(3x^2-6x+5)(3x^2-6x+2)$ olur. İlk çarpanın diskriminantı negatif olduğundan dolayı gerçel kökü bulunmaz. Bu nedenle $R(x)$ in gerçel kökleri toplamı $-(-6)/3=2$ olarak bulunur.


19 Yanıt:B Soruda reel sayı şartı olmadığına dikkat edelim. Öncelikle $x^3-x+1=y^3-y+1$ den yola çıkarak $(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)$ ve $x,y$ farklı olduğundan dolayı $x^2+xy+y^2=1$  olmalıdır. Bizden istenen ifade $x^2y+xy^2$ olduğu için ve bu ifade tamküp açılımından geldiği için tamküp açılımını göz önüne alabiliriz. $$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$ olur ve bize verilen eşiltlik yardımıyla $$(x+y)^3=3.xy(x+y)+x+y-2$$ olarak yazılabilir Diğer taraftan $$(x+y)^3=(x+y)^2(x+y)=(x^2+2xy+y^2)(x+y)=(1+xy)(x+y)$$  olduğundan $$x+y+xy(x+y)=3xy(x+y)+x+y-2$$  elde edilir. Buradan sadeleştirmeler yapılırsa $$xy(x+y)=1$$  olur.


23) Yanıt: E İfadeyi $$K=a+b+9+\dfrac{8a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{b}$$ olarak yeniden yazdığımızda ifadeye $AO \geq GO$ eşitsizliği uygulanabileceğini görebiliriz. $$K=(a+\dfrac{b}{a}+\dfrac{8}{b})+(b+\dfrac{8a}{b}+\dfrac{8}{a})+9$$ şeklinde yeniden yazıp $AO \geq GO$ uygularsak $K\geq 3.2+3.4+9=27$ olduğunu görebiliriz. $a=2$ $b=4$  durumu her iki eşitsizliğinde eşitlik şartı olduğu için ve yerine koyduğumuzda sağladığı için $K=27$  değerinin alınabileceğini ve $K=25$  in mümkün olmadığını görebiliriz. $K>27$ değerleri için $a=2$ kısmını sabitleyip $K$ yı tekrar yazdığımızda ifadenin $b>4$  için daima artan olduğu gösterilebilir ve bu durumda diğer $K$  değerlerinin hepsinin alınması mümkün olur.


27) Yanıt : E İfadeyi $10$  ile çarpıp tam kareye tamamlamaları uyguladığımızda $$2.(5p-2)^2+5.(2q-1)^2+17=0$$. Tamkareler negatif olamayacağı için  bu eşitlik sağlanamaz.

31) Yanıt : E Bu soruda klasik pisagor parametrizasyonunu göz önüne alabiliriz ($a^2+b^2=c^2$ denkleminin genel çözümü $(m,n)=1$ olmak üzere $k.(m^2-n^2),k.2mn,k.(m^2+n^2)$) Buradan $$a+b+c=k.(2m^2+2mn)=2014=2.19.53$$ yani $$k.(m^2+mn)=k.m.(m+n)=19.53$$ elde edilir. Burada $m.n$ negatif olamayacağı için genelliği bozmadan $m$  ve $n$ yi pozitif alabiliriz (denklemin $a=k.(m^2-n^2)$ ve $b= k.(2mn)$ çözümlerini göz önüne alırsak)  $k$ yı da pozitif alalım.  $m^2-n^2>0$  olduğundan dolayı $m>n$ olmalıdır. $m,n$ genel çözümden kaynaklı zıt paritede olmalıdır. Bu koşulların hepsini sağlayan ve $km(m+n)=19.53$ denklemini sağlayan üçlü bulunmadığı için uygun bir üçgen yoktur.   

Not: Parametrizasyonlar için  https://geomania.org/forum/index.php?topic=9594.0  linkine bakılabilir.