Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 21

[Eray]

$|AB|=13, |BC|=4, |CA|=15$ olan bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çemberin merkezi $I$ ve $BC$ kenarının orta noktası $M$ dir. $IM$ doğrusu $BC$ kenarına ait yüksekliği $K$ de kesiyor. Buna göre $|AK|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5}{2} \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{7}{2}$

[mehmetutku]

Yanıt :$\boxed{A}$

Heron formülünden üçgenin alanı $24$ bulunur. $u=16$ olduğu için $u.r=24$ ten iç teğet çemberin yarıçapı $r=\dfrac{3}{2}$ bulunur. Aynı zamanda $BC$ kenarına ait yükseklik $BC$ yi $H$ de kessin. Alandan dolayı $AH=12$ bulunur. Üçgen geniş açılı olduğu için $H$ noktası $|BC|$ nin dışındadır. $BH=5$ bulunur.İç teğet çemberin $BC$ kenarına değdiği noktaya $D$ diyelim. Basit hesaplamalarla $BD=1$ bulunur. O zaman $DM=1$ dir. $KHM$ ve $IDM$ üçgenlerinin benzerliğinden $\dfrac{1}{7}=\dfrac{\tfrac{3}{2}}{KH}$ ve $KH=\dfrac{21}{2}$ bulunur. $AK=12-KH=\dfrac{3}{2}$ bulunur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{A}$

Daha çok hesaplamaya dayalı bir çözüm verelim. $A$'dan inen dikme ayağı $H$, $AI\cap BC=D$ olsun. Buna göre Açıortay Teoremi'yle $CD=\dfrac{60}{17},DB=\dfrac{13.15}{17}$, Pisagor'dan ise $CH=\dfrac{12}{5}$ bulunur. Dolayısıyla $DH=CD-CH=\dfrac{60}{17}-\dfrac{12}{5}=\dfrac{96}{85}$ olur. Öte taraftan, $DM=CM-CD=\dfrac{15}{2}-\dfrac{60}{17}=\dfrac{135}{34}$ olur. Buna göre $\triangle KHM$'de Menelaus Teoremi'ne göre belirlenen uzunluklarla ve Açıortayla $AI/ID=\dfrac{17}{15}$ olduğu kullanılırsa
$$\dfrac{MD}{MH}.\dfrac{HK}{AK}.\dfrac{AI}{ID}=1\Longleftrightarrow \dfrac{AK}{HK}=\dfrac{\dfrac{135}{34}}{\dfrac{135}{34}+\dfrac{96}{85}}.\dfrac{17}{15}=\dfrac{15}{17}$$
elde edilir. Ayrıca, $\triangle ACH$'de Pisagor'dan $AH=\dfrac{16}{5}$ belirlenir. Dolayısıyla $AK=\dfrac{16.15}{5.32}=\dfrac{3}{2}$ bulunur.