Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 10

[mehmetutku]

$p \in \{ 7,11,13,17,19 \}$ olmak üzere kaç farklı $p$ asal sayısı için $a^2+b+1$ ve $b^2+a+1$ sayılarının her ikisi de $p$ ile tam bölünecek biçimde $a$ ve $b$ tam sayıları bulunabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

[KereMath]

a²+b+1 ve b²+a+1 sayıları p modunda 0 olsun bu 2 sayının farkı a²-b²+b-a dır.Bu ifade (a-b)(a+b-1) olur. a=b den bakılırsa p modunda a²+a+1=0 olmalıdır buradan p=7,11,13 değerleri sağlar
a=1-b den bakılırsa da b²-b+2 p moduna göre 0 olmalıdır buradan da p=11 değeri sağlamaktadır.sağlayan p asal sayıları 7,11,13,19 olup 4 tanedir.

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: $4$.

$a^2+b+1 \equiv b^2+a+1 \equiv 0 \pmod p$ olduğundan $a^2+b+1-\left(b^2+a+1\right)=(a-b)(a+b-1) \equiv 0 \pmod p$ olur. $a \equiv b \pmod p$ için $a^2+a+1 \equiv 0 \pmod p$ ve buradan da $(2 a+1)^2 \equiv-3 \pmod p$ olur. $a+b \equiv 1 \pmod p$ için ise $a^2-a+2 \equiv 0 \pmod p$ ve buradan da $(2 a-1)^2 \equiv -7 \pmod p$ elde ederiz. Yani soruda verilen koşulları sağlayan bir $a, b$ ikilisi vardır ancak ve ancak $-3$ ve $-7$ sayılarından en az biri $p$ modunda karekalandır. $5^2 \equiv-3 \pmod 7$, $6^2 \equiv -3\pmod {13}$, $4^2 \equiv-3 \pmod {19}$ ve $2^2 \equiv-7 \pmod {11}$ olduğundan $7,11,13,19$ şartları sağlar. $p=17$ için ise karekalanlar $0,1,4,9,16,8,2,15,13$ olup $-3$ ve $-7$ karekalan değildir. Bu yüzden cevap $4$ olur.

Kaynak: Tübitak 24. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2016