Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2016 Soru 10

[ArtOfMathSolving]

$3$ asal sayının kareleri toplamı olarak yazılabilen ve $1$ eksiği tamkare olan kaç asal sayı vardır ?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 3
\qquad{d)}\ 4
\qquad{e)}\ \text{sonsuz çoklukta}
$

[KereMath]

istenilen sayı x olsun 3 asal sayının kareleri toplamı 3 modunda 0 dır  (asal sayılardan hiçbiri 3 değilse)  bu yüzden x 3 modunda 0 dır     
1 eksiği 3 modunda 2 dir  x-1 in tamkare olmasını istiyor ki hiç bir tamkare 3 modunda 2 olamaz bundan dolayı sayılarımızdan biri 2 dir
asal sayılarımızdan hiçbiri 2 değilse 4 modunda tamkare 1 olduğu için x 4 modunda 1+1+1 den 3 olur x-1 in tamkare olmasını istiyor ancak
x-1 4 modunda 2 dir ki hiç bir tamkare 4 modunda 2 olamaz  bundan dolayı diğer asal sayımız 2 dir 
3.asal sayımız 2 den büyük olsun sayılarımızdan diğer ikisi 2 ve 3 olduğu için x= 4+9+r olur  r tektir  buradan x çift olur x=2 olur ki buradan değer gelmez  bundan dolayı 3.asal sayımız da 2 dir
son olarak incelersek 9+4+4=17 dir 17 asaldır ve 1 eksiği olan 16 ise 4 ün karesidir
sadece 1 tane sayı vardır