Lise 1. Aşama Seviyesi Polinom Sorusu

[ArtOfMathSolving]

$P(x)=3x^2+bx+c$ Polinomunun köklerinden bir tanesi $1$ ve her $x$ gerçel sayısı için, $P(x)\ge 0$ eşitsizliği sağlanmaktadır. Tamsayı katsayılı bir $Q(x)$ polinomu için, $P(x)=3(Q(x))+4$ eşitliği sağlanıyor. $P^2(x)+3Q(x)=R(x)-2$ eşitliğini sağlayan $4$. dereceden bir $R(x)$ tamsayı katsayılı bir polinomu varsa, bu polinomun gerçel kökleri toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 3
\qquad{d)}\ 4
\qquad{e)}\ -2
$                                                                                                                                                                                     

$(\text{ArtOfMathSolving})$

[Metin Can Aydemir]

Eğer P(x)'in farklı kökleri olsaydı, farzedelim 1 ve a olsun bu kökler. (1,a) aralığında (yada (a,1) aralığında) P(x) negatif değer alacaktır. Yani a ve 1 çakışık olmalıdır. Buradan P(x)= 3x²-6x+3 bulunur. Yerinde yazarsak Q(x)=(3x²-6x-1)/3 olur. R(x)'i ise 9x⁴-36x³+57x²-42x+10 buluruz. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak (3x²-6x+2).(3x²-6x+5) bulunur. İkinci çarpanda ∆<0 olduğundan çözümü yoktur. Yani kökler toplamı vietadan 6/3=2'dir.

[ArtOfMathSolving]

Tebrikler , Çok güzel bir çözüm zihninize sağlık