Benim çözümüm şu şekilde;
\[\sum\limits_{n = 0}^{2015} {a_n } .\frac{1}{{5^n }} \prec \sqrt 5 \, \] ve her n=0,1,2,...,2015 için an tam sayı olarak n+1 farklı sayının kareleri toplamı şeklinde ifade edilebilen ve pozitif tam sayılardan oluşan bir dizinin olup olmadığına bakmak için ifademizi önce düzenleyelim;
\[
\sum\limits_{n = 0}^{2015} {a_n } .\frac{1}
{{5^n }} \prec \sqrt 5
\]
\[
\frac{{a_0 }}
{1} + \frac{{a_1 }}
{5} + \frac{{a_2 }}
{{25}} + ... + \frac{{a_{2015} }}
{{5^{2015} }} \prec \sqrt 5
\]
\[
5^{2015} a_0 + 5^{2014} a_1 + 5^{2013} a_2 + ... + a_{2015} \prec \sqrt 5 \cdot 5^{2015}
\]
ve soruda a0'ın 1, a1'in 2, a2'nin 3,..,a2015'in 2016 adet farklı sayının kareleri toplamı şeklinde ifade edilebildiğini biliyoruz ve bu farklı rakamları x,y,z,..,q şeklinde harflendirelim;
Mesela; a0= x2, a1=x2+y2, a2=x2+y2+z2,... şeklinde olduğunu düşünelim ve düzenleyelim;
\[
5^{2015} x^2 + 5^{2014} (x^2 + y^2 ) + 5^{2013} (x^2 + y^2 + z^2 ) + ... \prec 5^{2015} \sqrt 5
\]
bu denklemi sağlayan ve pozitif tam sayılardan oluşan an dizisi olabilmesi için eşitsizlik sağlamalı ve sol taraftaki toplam değerinin garanti şekilde eşitsizliği sağlaması içinde öncelikle x2 alabileceği en küçük değeri almalı şeklinde düşünelim ve x=0 kabul edersek denklem;
\[
5^{2014} y^2 + 5^{2013} (y^2 + z^2 ) + ... \prec 5^{2015} \sqrt 5
\]
an'li terimler pozitif tamsayı olacağından ve a1'in de pozitif olabilmesi için x2+y2de yalnız kalan y2 sebebiyle y'yi de 0'dan sonraki en küçük pozitif tam sayı olacak şekilde seçmek zorundayız.Toplamların pozitif tam sayı olabilmesi koşuluyla diğer sayılarda da bu kurala uyarız ve sırayla 0,1,4,9,16 şeklinde kareler uygulanmış olur;
\[
1 \cdot (5^{2014} + 5^{2013} + ... + 1) + 4 \cdot (5^{2013} + 5^{2012} + ... + 1) + 9 \cdot (5^{2012} + 5^{2011} + ... + 1) + ... + 2015^2 \cdot (1) \prec 5^{2015} \cdot \sqrt 5
\]
\[
\sum\limits_{k = 1}^n {r^{n - 1} } = \frac{{1 - r^n }}
{{1 - r}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sum\limits_{k = 1}^n {k^2 } = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}
{6}
\]
formüllerini kullarak eşitsizliğin sağlanabilirliğini kontrol edebiliriz ve sağlayabilecek en alt tabandan bir pozitif tamsayılar dizisinin olup olmadığına dair fikir elde edebiliriz;
\[
(\frac{{1 - 5^{2015} }}
{{1 - 5}}) + 4 \cdot (\frac{{1 - 5^{2014} }}
{{1 - 5}}) + 9 \cdot (\frac{{1 - 5^{2013} }}
{{1 - 5}}) + ... \prec 5^{2015} \cdot \sqrt 5
\]
\[
\frac{1}
{4} \cdot \left[ {( - 1 - 4 - 9 - ... - 2015^2 ) + (5^{2015} + 4 \cdot 5^{2014} + 9 \cdot 5^{2013} + ...)} \right] \prec 5^{2015} \cdot \sqrt 5
\]
\[
( - \frac{{2015 \cdot 277 \cdot 4031}}
{3}) + \frac{1}
{4}(5^{2015} + 4 \cdot 5^{2014} + 9 \cdot 5{}^{2013} + ...) \prec 5^{2015} \cdot \sqrt 5
\]
\[
(5^{2015} + 4 \cdot 5^{2014} + 9 \cdot 5{}^{2013} + ...) \prec 5^{2015} \cdot 4\sqrt 5 + \frac{{2015 \cdot 277 \cdot 4031 \cdot 4}}
{3}
\]
\[
5^{2015} \cdot (1 + \frac{4}
{5} + \frac{9}
{{25}} + \frac{{16}}
{{125}} + ...) \prec 5^{2015} \cdot 4\sqrt 5 + \frac{{2015 \cdot 277 \cdot 4031 \cdot 4}}
{3}
\]
Üstteki eşitsizliğimizi yorumlamak istersek, eşitsizliğin solundaki ifadede bulunan parantez içerisindeki toplama benzer, daha hızlı ve benzer büyüyen hatta sonsuza giden (seri) örneği vermek daha kolay yorumlamamıza yardımcı olabilir örneğin;
\[
\sum\limits_{n = 0}^\infty {(\frac{4}
{5})^n } = (1 + \frac{4}
{5} + \frac{{16}}
{{25}} + \frac{{64}}
{{125}} + ...) = 5
\]
Anlarız ki eşitsizliğimizin sol kısmındaki parantezimiz;
\[
(1 + \frac{4}
{5} + \frac{9}
{{25}} + \frac{{16}}
{{125}} + ...\frac{{2015^2 }}
{{5^{2015} }}) \prec 5 \prec 4\sqrt 5
\]
Böylece eşitsizliğimizin sağlamış olduğunu ve pozitif tam sayılardan oluşan bir an dizisinin bulunabileceğini anlıyoruz.
(Çözümüm hatalıysa veya eksik yerler varsa affola.)
