Gönderen Konu: 2006 Tübitak Ortaokul 2. Aşama Soru 2  (Okunma sayısı 1908 defa)

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 425
  • Karma: +4/-8
2006 Tübitak Ortaokul 2. Aşama Soru 2
« : Haziran 01, 2016, 09:47:05 ös »
\begin{cases} x-yz=11\\ xz+y=13\end{cases} denklemini sağlayan tüm $(x,y,z)$ tamsayılarını bulunuz.
« Son Düzenleme: Aralık 12, 2020, 06:16:51 ös Gönderen: scarface »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı taftazani44

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 187
  • Karma: +2/-1
Ynt: 2006 Tübitak Ortaokul 2.Aşama Soru 2
« Yanıtla #1 : Haziran 01, 2016, 10:57:11 ös »
...
« Son Düzenleme: Kasım 05, 2020, 03:54:20 öö Gönderen: scarface »
n.k

Çevrimiçi muuurat

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 50
  • Karma: +2/-0
Ynt: 2006 Tübitak Ortaokul 2. Aşama Soru 2
« Yanıtla #2 : Haziran 02, 2016, 10:38:54 öö »
x=11, y=13, z=0
x=-1, y=12, z=-1
x=-3, y=7,   z=-2
.
.
.
x=-1, y=1, z=-12

1<= z <= -12  olmak üzere 14 durum denenmeli...

Çevrimdışı taftazani44

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 187
  • Karma: +2/-1
Ynt: 2006 Tübitak Ortaokul 2. Aşama Soru 2
« Yanıtla #3 : Haziran 02, 2016, 11:18:23 öö »
Pozitif tamsayilar olarak almıştım.(teşekkürler)
n.k

Çevrimdışı taftazani44

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 187
  • Karma: +2/-1
Ynt: 2006 Tübitak Ortaokul 2. Aşama Soru 2
« Yanıtla #4 : Haziran 02, 2016, 11:41:21 öö »
z²+11z-12≤0
(z+12)(z-1)≤0
-12≤z≤1
z nin 14 tane durumu olur.
z=-12,-2,-1,0,1 degerleri için istenen durumlar oluşur.
Bunlar denenir ama daha geniş bir aralik için denemek zor olacak
« Son Düzenleme: Haziran 02, 2016, 04:00:38 ös Gönderen: taftazani44 »
n.k

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3092
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: 2006 Tübitak Ortaokul 2. Aşama Soru 2
« Yanıtla #5 : Aralık 12, 2020, 04:54:34 ös »
Çözüm (Lokman GÖKÇE):

$$\begin{cases} x-yz=11\\ xz+y=13\end{cases} \tag{1}$$
denklemlerinde her iki tarafın karesini alalım: $\begin{cases} x^2+(yz)^2-2xyz=121\\ (xz)^2+y^2+2xyz=169 \end{cases}$ olur. Bu iki denklemi toplarsak $x^2(z^2+1) + y^2(z^2+1)=290$ olup
$$(x^2+y^2)(z^2+1)=290 \tag{2}$$
denklemi elde edilir. $290=2\cdot 5 \cdot 29$ olduğundan $8$ tane pozitif tam böleni incelemeliyiz.

$\bullet$ $z^2+ 1=1$ durumunda $z=0$ olup $x^2+y^2 =290$ elde edilir. $(1)$ ana denkleminde $z=0$ yazılırsa $x=11$, $y=13$ bulunur. $(11,13,0)$ çözüm üçlüsüne ulaşırız.

$\bullet$ $z^2+ 1=2$ durumunda $z=\pm 1$ olur. $(1)$ denkleminde $z=1$ yazılırsa $\begin{cases} x-y=11\\ x+y=13\end{cases} $ olup $x=12$, $y=1$ dir. $(1)$ denkleminde $z=-1$ yazılırsa $\begin{cases} x+y=11\\ -x+y=13\end{cases} $ olup $x=1$, $y=12$ dir. $(12,1,1)$ ve $(1,12,-1)$ çözüm üçlülerine ulaşırız.

$\bullet$ $z^2+ 1=5$ durumunda $z=\pm 2$ olur. $(1)$ denkleminde $z=2$ yazılırsa $\begin{cases} x-2y=11\\ 2x+y=13\end{cases} $ olup $x\not\in\mathbb Z$ dir. $(1)$ denkleminde $z=-2$ yazılırsa $\begin{cases} x+2y=11\\ -2x+y=13\end{cases} $ olup $x=-3$, $y=7$ dir. $(-3,7,-2)$ çözüm üçlüsüne ulaşırız.

$\bullet$ $z^2+ 1=10$ durumunda $z=\pm 3$ olur. $(1)$ denkleminde $z=3$ yazılırsa $\begin{cases} x-3y=11\\ 3x+y=13\end{cases} $ olup $x=5$, $y=-2$ dir. $z=-3$ yazılırsa $\begin{cases} x+3y=11\\ -3x+y=13\end{cases} $ olup $y \not\in\mathbb Z$ dir. $(5,-2,3)$ çözüm üçlüsüne ulaşırız.

$\bullet$ $z^2+ 1=29$, $z^2+ 1=58$ durumlarında $z \not\in\mathbb Z$ olup çözüm yoktur.

$z^2+ 1=145$ durumunda $z=\pm 12$ olur. Ayrıca $x^2+y^2 =2$ dir. $x=\pm 1$ ve $y=\pm 1$ olur. $(1)$ denkleminde incelenirse uygun çözüm $(-1, 1, -12)$ bulunur.

$\bullet$ $z^2+ 1=290$ durumunda $z=\pm 17$ olur. Bu halde $x^2+y^2 =1$ dir. $x=0$, $y=\pm 1$ ve $x=\pm 1$, $y=0$ değerleri $(1)$ denkleminde denenirse hiçbirinin ana denklemi sağlamadığı görülür.

Böylece $(1)$ denklemini sağlayan tüm $(x,y,z)$ tam sayı üçlüsü çözümler $(11,13,0)$, $(12,1,1)$, $(1,12,-1)$, $(-3,7,-2)$, $(5,-2,3)$, $(-1, 1, -12)$ biçimindedir.

« Son Düzenleme: Aralık 12, 2020, 06:17:13 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal